初中数学竞赛(初二）.pdfVIP

初中数学竞赛辅导资料（17）

奇数偶数

甲内容提要

1.奇数和偶数是在整数集合里定义，能被2整除整数是偶数，如2,0-2-,不能被2整除

整数是奇数，如一1,1,3.

如果n是整数，那么2n是偶数，2n-l或2n+l是奇数.如果n是正整数，那么2n是正偶数，

2n-l是正奇数.

2.奇数、偶数是整数一种分类.可表示为：

奇数

二w或整数集合

偶数

（

这就是说，在整数集合中是偶数就不是奇数，不是偶数就是奇数，如果既不是偶数又不是奇数，

那么它就不是整数.

3.奇数偶数运算性质：

奇数土奇数=偶数，奇数土偶数=奇数，偶数土偶数=偶数

奇数X奇数=奇数奇数X偶数=偶数，偶数X偶数=偶数

奇数正整数次幕是奇数，偶数正整数次第足偶数，

两个速续整数和是奇数，积是偶数.

乙例题

例1求证：任意奇数平方减去1是8倍数

证明：设k为整数，那么2k—1是任意奇数，

22

2（k-l）-1=4k-4k+1-1=4kk（-1）

：kk（—1）是两个速续整数积，必是偶数，4kk（—1）是8倍数

即任意奇数平方减去1是8倍数

例2已知：有n个整数它们积等于n,和等于0

求证：n是4倍数

证明：设n个整数为XI，X2,X3,…Xn根据题意得，-

X,+%2+%3+…+X=0②

如果n为正奇数，由方程（1）可知X”X2,X3,…Xn都只能是奇数，而奇数个奇数和必是奇

数，这不适合方程2（）右边0,所以n一定是偶数；

当n为正偶数时，方程（1）左边X,X2,X3,…Xn中，至少有一个是偶数，而要满足方程2（）

右边0,左边奇数必演是偶数个，偶数至少有2个.

所以n是4倍数.

例3己知:a,b,c都是奇数

求证：方程0¥2+/+。=）（没有整数解

证明：设方程有整数解x,若它是奇数，这时方程左边ax?,bx,c都是奇数，而右边0是

偶数，故不能成立；

若方程整数解x是偶数，那么ax?,bx,都是偶数，c是奇数，所以左边仍然是奇数，不可能

等于0.

既然方程解不可能是奇数，也不能是偶数，

2

...方程ax+bx+c=O没有整数解（以上证明方法是反证法）

22

例4求方程x-y=60正整数解

解：x（+y）x（—y）=60,

60可分解为：1X60,2X30,3X20,4X15,5X⑵6X10

左边两个因式x（+y）,x（—y）至少有一个是偶数

因此x,y必演是同奇数或同偶数，且xy0,适合条件只有两组

X+y=30(10

x+y二

-y=2I

Xx-y-6

x=16x=8

解得《