初中数学竞赛专题讲座--成都姚老师数学.pdfVIP

竞赛讲座01-奇数和偶数

整数中，能被2整除的数是偶数，反之是奇数，偶数可用2k表示，奇数可用2k+l表

示，这里k是整数.关于奇数和偶数，有下面的性：

（1）奇数不会同时是偶数；两个连续整数中必是一个奇数一个偶数；

（2）奇数个奇数和是奇数；偶数个奇数的和是偶数：任意多个偶数的和是偶数；

3（）两个奇偶（）数的差是偶数；一个偶数与一个奇数的差是奇数；

4（）若a、b为整数，则a+b与a-b有相同的奇数偶；

（5）n个奇数的乘积是奇数，n个偶数的乘积是2n的倍数；顺式中有一个是偶数，则乘积

是偶数.

以上性简单明了，解题时如果能巧妙应用，常常可以出奇制胜.

1.代数式中的奇偶问题

例1（第2届“华罗庚金杯”决赛题）下列每个算式中，最少有一个奇数，一个偶数，那么这

12个整数中，至少有几个偶数？

□+□=□,□-□=□,口＞＜口=□□+口=口.

解因为加法和减法算式中至少各有一个偶数，乘法和除法算式中至少各有二个偶数，故这

12个整数中至少有六个偶数.

例2（第1届“祖冲之杯”数学邀请赛）已知n是偶数，m是奇数，方程组

x798晚-n

1lx+-m

{

的球x

9.4是整数，那么

（A）p、q都是偶数.B（）p、q都是奇数.

（C）p是偶数，q是奇数D（）p是奇数，q是偶数

分析由于1988y是偶数，由第一方程知p=x=n+1988y,所以p是偶数，将其代入第二方程

中，于是llx也为偶数，从而27y=m-llx为奇数，所以是y=q奇数，应选C（）

例3在1,2,3…，1992前面任意添上一个正号利负号，它们的代数和是奇数还是偶数.

分析因为两个整数之和与这两个整数之差的奇偶性相同，所以在题设数字前面都添上正号

和负号不改变其奇偶性，而1+2+3+...+1992=2=996x1993为偶数于是题设

的代数和应为偶数.

2.与整除有关的问题

例4（首届“华罗庚金杯”决赛题）70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的3倍

都恰好等于它两边两个数的和，这一行最左边的几个数是这样的：0,1,3,8,21，.…问

最右边的一个数被6除余几？

解设70个数依次为ai,a2,a3据题意有

ai=0,偶

32=1奇

a=3a-ai,奇

32

a=3a-a2,偶

43

a=3a4-a3,奇

5

a3a,奇

=-a4

65

由此可知：

当3a偶

n被除余1时，”是数；

3除0时余时”是奇，显a。+数所k必奇，令

当n被余，或2，a数然?是3kl型偶，以须是数

7==3n1)+16+4

k=2n+1,则ao3k+1(2+=n.

设十位个位字和a个偶之和a,3则b4

解数，五奇数数之为,五数位为b(103510b5),a+=5,

被，-b应为0,1,2什？于b与-有奇性

又十位数能11整除则a12(为么).由a