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小波的几个术语及常见的小波基介绍

本篇是这段时间学习小波变换的一个收尾，了解一下常见的小波函数，混个脸熟，知

道一下常见的几个术语，有个印象即可，这里就当是先作一个备忘录，以后若有需要再深入

研究。

一、小波基选择标准

小波变换不同于傅里叶变换，根据小波母函数的不同，小波变换的结果也不尽相同。

现实中到底选择使用哪一种小波的标准一般有以下几点：

1、支撑长度

小波函数Ψ(t)、Ψ(ω)、尺度函数φ(t)和φ(ω)的支撑区间，是当时间或频率趋向于无穷

大时，Ψ(t)、Ψ(ω)、φ(t)和φ(ω)从一个有限值收敛到0的长度。支撑长度越长，一般需要耗

费更多的计算时间，且产生更多高幅值的小波系数。大部分应用选择支撑长度为5~9之间的

小波，因为支撑长度太长会产生边界问题，支撑长度太短消失矩太低，不利于信号能量的集

中。

这里常常见到“紧支撑”的概念，通俗来讲，对于函数f(x)，如果自变量x在0附近的

取值范围内，f(x)能取到值；而在此之外，f(x)取值为0，那么这个函数f(x)就是紧支撑函数，

而这个0附近的取值范围就叫做紧支撑集。总结为一句话就是“除在一个很小的区域外，函

数为零，即函数有速降性”。

2、对称性

具有对称性的小波，在图像处理中可以很有效地避免相位畸变，因为该小波对应的滤

波器具有线性相位的特点。

3、消失矩

在实际中，对基本小波往往不仅要求满足容许条件，对还要施加所谓的消失矩

（VanishingMoments）条件，使尽量多的小波系数为零或者产生尽量少的非零小波系数，

这样有利于数据压缩和消除噪声。消失矩越大，就使更多的小波系数为零。但在一般情况下，

消失矩越高，支撑长度也越长。所以在支撑长度和消失矩上，我们必须要折衷处理。

小波的消失矩的定义为，若

其中，Ψ(t)为基本小波，0=pN。则称小波函数具有N阶消失矩。从上式还可以得出，同

任意n-1阶多项式正交。在频域内表示就是Ψ(ω)在ω=0处有高阶零点（一阶零点就是容许

条件）。

4、正则性

在量化或者舍入小波系数时，为了减小重构误差对人眼的影响，我们必须尽量增大小

波的光滑性或者连续可微性。因为人眼对“不规则”(irregular)误差比“平滑”误差更加敏感。换

句话说，我们需要强加“正则性”(regularity)条件。也就是说正则性好的小波，能在信号或图

像的重构中获得较好的平滑效果，减小量化或舍入误差的视觉影响。但在一般情况下，正则

性好，支撑长度就长，计算时间也就越大。因此正则性和支撑长度上，我们也要有所权衡。

消失矩和正则性之间有很大关系，对很多重要的小波（比如，样条小波，Daubechies

小波等）来说，随着消失矩的增加，小波的正则性变大，但是，并不能说随着小波消失矩的

增加，小波的正则性一定增加，有的反而变小。

5、相似性

选择和信号波形相似的小波，这对于压缩和消噪是有参考价值的。

二、常见的小波基

以下列出的15种小波基是Matlab中支持的15种。

Mexican

小波函数HaarDaubechiesBiorthogonalCoifletsSymletsMorletMeyer

Hat

小波缩写名haardbbiorcoifsymmorlmexhmeyr

表示形式haardbNbiorNr.NdcoifNsymNmorlmexhmeyr

举例haardb3bior2.4coif3sym2morlmexhmeyr

正交性有有无有有无无有

双正交性有有有有有无无有

紧支撑性