2024年初三《圆》章节知识点复习专题.doc

《圆》章节知识點复习

一、圆的概念

集合形式的概念：1、圆可以看作是到定點的距离等于定長的點的集合；

2、圆的外部：可以看作是到定點的距离不小于定長的點的集合；

3、圆的内部：可以看作是到定點的距离不不小于定長的點的集合

轨迹形式的概念：

1、圆：到定點的距离等于定長的點的轨迹就是以定點為圆心，定長為半径的圆；

（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的點的轨迹是這条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；

3、角的平分线：到角两边距离相等的點的轨迹是這個角的平分线；

4、到直线的距离相等的點的轨迹是：平行于這条直线且到這条直线的距离等于定長的两条直线；

5、到两条平行线距离相等的點的轨迹是：平行于這两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、點与圆的位置关系

1、點在圆内點在圆内；

2、點在圆上點在圆上；

3、點在圆外點在圆外；

三、直线与圆的位置关系

1、直线与圆相离無交點；

2、直线与圆相切有一种交點；

3、直线与圆相交有两個交點；

四、圆与圆的位置关系

外离（图1）無交點；

外切（图2）有一种交點；

相交（图3）有两個交點；

内切（图4）有一种交點；

内含（图5）無交點；

五、垂径定理

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所對的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所對的两条弧；

（2）弦的垂直平分线通過圆心，并且平分弦所對的两条弧；

（3）平分弦所對的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一条弧

以上共4個定理，简称2推3定理：此定理中共5個結论中，只要懂得其中2個即可推出其他3個結论，即：

①是直径②③④弧弧⑤弧弧

中任意2個条件推出其他3個結论。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即：在⊙中，∵∥

∴弧弧

六、圆心角定理

圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所對的弦相等，所對的弧相等，弦心距相等。此定理也称1推3定理，即上述四個結论中，

只要懂得其中的1個相等，则可以推出其他的3個結论，

即：①；②；

③；④弧弧

七、圆周角定理

1、圆周角定理：同弧所對的圆周角等于它所對的圆心的角的二分之一。

即：∵和是弧所對的圆心角和圆周角

∴

2、圆周角定理的推论：

推论1：同弧或等弧所對的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所對的弧是等弧；

即：在⊙中，∵、都是所對的圆周角

∴

推论2：半圆或直径所對的圆周角是直角；圆周角是直角所對的弧是半圆，所對的弦是直径。

即：在⊙中，∵是直径或∵

∴∴是直径

推论3：若三角形一边上的中线等于這边的二分之一，那么這個三角形是直角三角形。

即：在△中，∵

∴△是直角三角形或

注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的二分之一的逆定理。

八、圆内接四边形

圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的對角互补，外角等于它的内對角。

即：在⊙中，

∵四边形是内接四边形

∴

九、切线的性质与鉴定定理

（1）切线的鉴定定理：過半径外端且垂直于半径的直线是切线；

两個条件：過半径外端且垂直半径，两者缺一不可

即：∵且過半径外端

∴是⊙的切线

（2）性质定理：切线垂直于過切點的半径（如上图）

推论1：過圆心垂直于切线的直线必過切點。

推论2：過切點垂直于切线的直线必過圆心。

以上三個定理及推论也称二推一定理：

即：①過圆心；②過切點；③垂直切线，三個条件中懂得其中两個条件就能推出最终一种。

拾、切线長定理

切线長定理：

從圆外一點引圆的两条切线，它們的切线長相等，這點和圆心的连线平分两条切线的夹角。

即：∵、是的两条切线

∴

平分

拾一、圆幂定理

（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交點分得的两条线段的乘积相等。

即：在⊙中，∵弦、相交于點，

∴

（2）推论：假如弦与直径垂直相交，那么弦的二分之一是它分直径