高中数学 第四章 定积分 4.1 定积分的概念 4.1.1 定积分的背景——面积和路程问题课件 北师.pptVIP

第四章 定积分

§1定积分的概念

1.1定积分的背景——面积和路程问题

1.了解过剩估计值与不足估计值.2.通过分割自变量的区间,会用过剩估计值和不足估计值估计曲边梯形的面积、物体运动的路程.

1.定义:由直线x=a,x=b(a≠b),y=0及曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形.如图中阴影部分.2.求解估计面积或路程问题的步骤:(1)分割区间;(2)求面积或路程的过剩估计值;(3)求面积或路程的不足估计值;(4)求估计值的误差.

题型一题型二【例1】估计由曲线y=-x2+2,直线x=1,x=0及y=0围成的图形的面积,并求出估计值的误差.(将区间[0,1]10等分)解首先将区间[0,1]10等分,如图①,所求图形的面积(即曲边梯形的面积)S的过剩估计值S1=0.2+0.199+0.196+0.191+0.184+0.175+0.164+0.151+0.136+0.119=1.715,如图②,曲边梯形的面积S的不足估计值S2=0.199+0.196+…+0.119+0.1=1.615,S1-S2=1.715-1.615=0.1.无论用S1还是用S2来表示曲边梯形的面积S,误差都不会超过0.1.

题型一题型二反思当函数y=f(x)是增函数时,用第一个分点的函数值为高作第一个矩形,依次作下去,所得矩形的面积为过剩估计值;用区间左端点的函数值为高作第一个矩形,依次作下去,所得矩形的面积为不足估计值.当函数y=f(x)是减函数时,正好相反.

题型一题型二【变式训练1】试求由直线y=2x,x=2,x轴围成的三角形的面积的过剩估计值、不足估计值及估计值的误差.(将区间[0,2]6等分)

题型一题型二【例2】有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶,在时刻t的速度为v(t)=3t2+2(单位:km/h),估计该汽车在0≤t≤2(单位:h)这段时间内行驶的路程S.(将区间[0,2]10等分)分析:汽车在0≤t≤2这段时间内行驶的路程就是曲线v(t)=3t2+2与直线t=0,t=2,v(t)=0围成的图形的面积,所以用估计曲边梯形面积的方法估计汽车行驶的路程.

题型一题型二解:将区间[0,2]10等分,则汽车行驶路程的过剩估计值为S1=[3(0.22+0.42+0.62+0.82+12+1.22+1.42+1.62+1.82+22)+20]×0.2=13.24(km),不足估计值为s1=[3(0+0.22+0.42+0.62+0.82+12+1.22+1.42+1.62+1.82)+20]×0.2=10.84(km).估计值的误差为S1-s1=13.24-10.84=2.4(km).所以无论用S1还是用s1来表示汽车行驶的路程,误差都不会超过2.4km.

题型一题型二【变式训练2】一个物体运动的速度为v(t)=20t,t∈[1,2],试估计该物体在这段时间内经过的路程.(将区间[1,2]5等分)解:将区间[1,2]5等分,则该物体在这段时间内经过的路程的过剩估计值为S1=20(1.2+1.4+1.6+1.8+2)×0.2=32,不足估计值为s1=20(1+1.2+1.4+1.6+1.8)×0.2=28.估计值的误差为S1-s1=32-28=4.所以无论用S1还是用s1来表示该物体在这段时间内经过的路程,误差都不会超过4.

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123453在求曲线y=f(x)与直线x=a,x=b(ba),x轴围成的平面图形的面积的估计值时,在分割后的小区间[xi,xi+1]上的矩形的高()A.只能是f(xi)B.只能是f(xi+1)C.可以为f(xi)或f(xi+1)D.可以为f(a-1)答案:C

123454在区间[0,3]内插入2015个分点,则可得个小区间,小区间的长度是.?

123455在估计由抛物线f(x)=2x2,直线x=0.1,x=0.9以及x轴所围成的平面图形的面积时,若将区间[0.1,0.9]4等分,如图所示,以小区间右端点的纵坐标为高,所有小矩形的面积之和为.?解析:由题意得S=2×(0.32+0.52+0.72+0.92)×0.2=0.656.答案:0.656