专题15圆锥曲线焦点三角形微点2焦点三角形面积公式及其应用.docx

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专题15圆锥曲线焦点三角形

微点2焦点三角形面积公式及其应用

【微点综述】

有心圆锥曲线（椭圆、双曲线）上一点与有心圆锥曲线的两个焦点构成的三角形，称为有心圆锥曲线的焦点三角形．本节利用圆锥曲线的定义，结合正弦定理、余弦定理等知识推导焦点三角形的面积公式，并举例说明其应用．

一、焦点三角形定义

椭圆和双曲线有对称中心，故统称为有心圆锥曲线．有心圆锥曲线上一点和两个焦点构成的三角形，称之为有心圆锥曲线的焦点三角形．其中，我们把椭圆的两个焦点和其短轴的一个端点构成的等腰三角形称为椭圆的一个特征焦点三角形．

二、焦点三角形面积公式

【结论1】椭圆的焦点三角形面积公式

椭圆的左右焦点分别为，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点三角形面积为．特别地，当时，有．

证明：如图，由余弦定理知．①

由椭圆定义知：，②

则②2－①得，．

当时，．

【结论2】椭圆的焦点三角形面积公式

双曲线的左右焦点分别为、，点P是双曲线上异于实轴端点的任一点，，则．特别地，当时，有．

证明：如图，由余弦定理知，

，

，

，，

∴．

当时，．

三、焦点三角形面积公式的应用

在求圆锥曲线中焦点三角形面积时，根据题意选择适合的公式，注意结合圆锥曲线的定义、余弦定理、基本不等式等知识解题．

1．设P为椭圆上一点，F1、F2是其焦点，若∠F1PF2＝，求△F1PF2的面积.

2．已知双曲线的左、右集点分别为，若双曲线上点使，则的面积是（????）

A．12 B．16 C．24 D．32

3．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形（记为．求椭圆C的方程

（2020·新课标Ⅰ）

4．设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（????）

A． B．3 C． D．2

5．已知点是椭圆上的一点，和是焦点，且，求的面积.

例6．（2022城厢区校级期中）

6．已知、是椭圆的两个焦点，是椭圆上的一点，若，且的面积为，则

A．2 B．3 C．6 D．9

例7．（2022连城县校级期中）

7．已知，是椭圆的两个焦点，P为椭圆C上一点，且，若的面积为，则（????）

A．9 B．3 C．4 D．8

例8．（2020·新课标Ⅲ）

8．设双曲线C：（a0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（????）

A．1 B．2 C．4 D．8

例9．（2022·安徽省亳州市第一中学高月考）

9．已知双曲线，过原点的直线与双曲线交于A，B两点，以线段AB为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F，若的面积为，则双曲线的离心率为（）

A． B． C．2 D．

例10．（2022·吉林吉林·高三期末）

10．已知P是椭圆上一动点，，是椭圆的左、右焦点，当时，；当线段的中点落到y轴上时，，则点P运动过程中，的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

11．已知点是双曲线的左焦点，为右支上一点.以的实轴为直径的圆与线段交于，两点，且，是线段的三等分点，则的渐近线方程为（????）

A． B． C． D．

【针对训练】

12．已知椭圆上一动点P到两个焦点F1，F2的距离之积为q，则q取最大值时，的面积为（????）

A．1 B． C．2 D．

13．已知、为双曲线C：的左、右焦点，点P在C上，∠P=，则

A．2 B．4 C．6 D．8

（2019·新课标Ⅲ）

14．已知是双曲线的一个焦点，点在上，为坐标原点，若，则的面积为

A． B． C． D．

15．设，为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且满足，则的面积为（????）

A． B．2 C． D．1

16．已知、为双曲线C：的左、右焦点，点P在C上，∠P=，则P到x轴的距离为

A． B． C． D．

（2022全国高三专题练习）

17．椭圆的焦点为、，椭圆上的点满足，则（????）

A． B． C． D．

（2022河南高二月考（理））

18．、的双曲线的两焦点，在双曲线上，，则的面积是

A．11 B． C． D．

（2022攀枝花市第十五中学校高二期中（理））

19．设为椭圆的两个焦点，点在此椭圆上，且，则的面积为（????）

A． B． C． D．

（2022重庆九龙坡区·高二期末（理））

20．椭圆的焦点为，P为椭圆上一点，若，则的面积是.

A． B． C． D．

（2022新疆乌鲁木齐市·乌市一中高二月考）

21．已知椭圆的两个焦点为，点在椭圆上且满足，则的面积为（????）

A． B． C． D．

22．双曲线的两个焦点为F1、F2，点P在双曲