专题15圆锥曲线焦点三角形微点3圆锥曲线焦点三角形内切圆问题.docx

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专题圆锥曲线焦点三角形

微点3圆锥曲线焦点三角形内切圆问题

【微点综述】

在圆锥曲线的考查中，焦点三角形是考查椭圆与双曲线第一定义的良好载体．焦点三角形结合圆，这样的试题难度一定不会小，往往还涉及中位线、角平分线、中垂线、相似等平面几何的知识．本文归纳椭圆、双曲线焦点三角形内切圆的相关性质，并作进一步的引申和推广．

一、椭圆焦点三角形内切圆的重要性质

椭圆的焦点三角形指的是椭圆上一点与椭圆的两个焦点所连接成的三角形．椭圆的焦点三角形问题，可以将椭圆定义和性质、三角形的几何性质以及解三角形等进行有机结合．圆是平面几何中非常重要的研究对象，焦点三角形的内切圆问题对于问题转化能力、几何性质的应用能力、数形结合能力提出了更高维度的要求，是解析几何综合问题重点考察内容之一．

下面先看椭圆焦点三角形内切圆的三个性质：

如图1，椭圆的标准方程为，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上不与左、右顶点重合的任意一点，的内切圆圆心为，且圆与三边相切于点．设，则有如下性质：

【性质1】．

【性质2】，其中为椭圆的离心率．

图1

证明：由切线长定理得：，则

，

又根据椭圆定义得，因此，性质1得证．

下面证明性质2．

设的内切圆半径为，由内切圆性质得轴，当点在第一象限时，则．根据切线长定理，①，

根据椭圆的第二定义得到焦半径公式：，

②，

由①②得：．

，

．

当时，，同理，

由得．当时，，

．

综上，为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点时性质2恒成立．

【评注】性质1和性质2的证明采用的是“算两次”的方法．性质1中对算式先利用切线长定理进行化简，再根据椭圆定义进行整理，从而构造方程并求解．性质2内心横坐标利用切线长定理和椭圆焦半径公式对算两次构造方程，内心纵坐标利用焦点三角形面积的两种表述算两次求解．

【性质3】椭圆焦点三角形的旁切圆与所在直线相切与顶点，当P点位于左侧时，旁切圆在左侧切点是左顶点，在右侧时候，切点是右顶点．

证明：，，∴，

∴，因此A为切点．

图2

二、椭圆焦点三角形内切圆的重要性质的应用

(一)定值问题

1．已知椭圆左、右焦点分别为，为椭圆上异于长轴端点的动点，的内心为，则．

2．已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，点I、G分别为△PF1F2的内心、重心．当IG恒与轴垂直时，椭圆的离心率是.

3．已知椭圆左、右焦点分别为为椭圆上一点，的内心为，若内切圆半径为，则．

(二)轨迹问题

4．已知椭圆左、右焦点分别为为椭圆上异于长轴端点的动点，的内心为，求点的轨迹方程．

圆锥曲线的定义、曲线方程、性质存在着诸多联系，很多性质并不是孤立的，所以我们可以试着将椭圆焦点三角形内切圆性质研究思路应用到双曲线中，得到类似的性质．下面我们研究双曲线焦点三角形内切圆的性质．

三、双曲线焦点三角形内切圆的重要性质

【性质1】如图6，已知为双曲线的左、右焦点，则的内切圆与轴切于双曲线的顶点；且当点为双曲线左支时，切点为左顶点；且当点为双曲线右支时，切点为右顶点．

证明：设双曲线的焦点三角形的内切圆且三边，，于点A，B，C，双曲线的两个顶点为，，，

∵，∴，∴A在双曲线上，

又∵A在上，A是双曲线与x轴的交点即点（或）．

图6图7

【性质2】双曲线的标准方程为，为双曲线的左、右焦点，为双曲线上异于实轴端点的任意一点，的内切圆圆心为，且圆与三边相切于点．设，则．

证明：由切线长定理得：，则

，

又根据双曲线定义得，因此．

轴，，又．

【评注】性质2的证明逻辑上同样是利用“算两次”构造方程求解．同理可得，为双曲线的左支上异于实轴端点的任意一点，．若点为双曲线的上异于实轴端点的动点，内心的轨迹为或，且．

【性质3】如图3，已知为双曲线的左、右焦点，过右焦点作倾斜角为的直线交双曲线于两点，若的内切圆圆心分别为，半径分别为，则（1）在直线上；（2）．

图3

从以上性质的证明过程中可以看出，这些性质的背后隐含着椭圆的定义、双曲线的定义、内切圆的定义、三角形全等、切线长定理、中位线定理等基础知识；性质的证明需要具有一定的数学抽象、逻辑推理与数学运算能力，可以考查学生对应核心素养维度的发展水平．另外证明过程中用到了数形结合、转化与化归、类比等数学思想方法．这些都是学生应该掌握的基础知识、基本技能、基本思想与基本活动经验，说明该考点不超纲，可以作为命题的出发点．

四、双曲线焦点三角形内切圆的重要性质的应用

5．双曲线的左、右焦点分别、，P为双曲线右支上的点，的内切圆与x轴相切于点C，则