专题18圆锥曲线中的张角问题微点3圆锥曲线中的张角问题综合训练.docx

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专题18圆锥曲线中的张角问题

微点3圆锥曲线中的张角问题综合训练

（2022湖南常德·一模）

1．定义：点为曲线外的一点，为上的两个动点，则取最大值时，叫点对曲线的张角.已知点为抛物线上的动点，设对圆的张角为，则的最小值为.

（2022·辽宁朝阳·高二期末）

2．设分别为椭圆的左?右焦点，点是椭圆上异于顶点的两点，，则，若点还满足，则的面积为.

（2022·浙江大学附属中学高三阶段练习）

3．已知O为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别是，过点且斜率为k的直线与圆交于A，B两点（点B在x轴上方），线段与椭圆交于点M，延长线与椭圆交于点N，且，则椭圆的离心率为，直线的斜率为．

（2023·福建漳州·三模）

4．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在C上，直线PF2与y轴交于点Q，点P在线段上，的内切圆的圆心为，若为正三角形，则=，C的离心率的取值范围是．

（2022江苏南通·高三开学考试）

5．在平面直角坐标系xOy中，已知点F1(－2，0)，F2(2，0)，点M满足|MF1|＋|MF2|＝，记M的轨迹为C．

（1）求C的方程；

（2）设l为圆x2＋y2＝4上动点T(横坐标不为0)处的切线，P是l与直线的交点，Q是l与轨迹C的一个交点，且点T在线段PQ上，求证：以PQ为直径的圆过定点．

（2022云南·昆明市官渡区第一中学高二期中）

6．已知平面内的两个定点，，，平面内的动点满足.记的轨迹为曲线.

(1)请建立适当的平面直角坐标系，求的方程；

(2)过作直线交曲线E于A，B两点，为坐标原点，求面积的最大值.

（2022甘肃·兰州市第二中学高三阶段练习（文））

7．已知平面内的两个定点，，，平面内的动点满足．记的轨迹为曲线．

（1）请建立适当的平面直角坐标系，求动点的轨迹方程；

（2）过作直线交于，两点，若点是线段的中点，点满足，请利用（1）所建立的坐标系及结论求面积的最大值，并求取得最大值时直线的方程．

（2022全国·高二课时练习）

8．在平面直角坐标系中，已知动点到点的距离与它到直线的距离之比为．记点的轨迹为曲线．

(1)求曲线的方程；

(2)过点作两条互相垂直的直线，.交曲线于，两点，交曲线于，两点，线段的中点为，线段的中点为．证明：直线过定点，并求出该定点坐标．

（2022北京·高三专题练习）

9．已知椭圆，过点，且该椭圆的短轴端点与两焦点，的张角为直角.

（1）求椭圆E的方程；

（2）过点且斜率大于0的直线与椭圆E相交于点P，Q，直线AP，AQ与y轴相交于M，N两点，求的取值范围.

（2022·江西·金溪一中高三阶段练习（文））

10．已知椭圆：的左、右顶点分别，，上顶点为，的面积为3，的短轴长为2.

(1)求的方程；

(2)斜率不为0的直线交于，两点（异于点），为的中点，且，证明：直线恒过定点.

（2022·重庆·三模）

11．平面直角坐标系xOy中，点（－，0），（，0），点M满足，点M的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

(2)已知A（1，0），过点A的直线AP，AQ与曲线C分别交于点P和Q（点P和Q都异于点A），若满足AP⊥AQ，求证：直线PQ过定点.

（2022·河南安阳·高二期末（理））

12．已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上在第一象限内的任意一点，且的周长为．

(1)求的方程；

(2)已知点，若不过点的直线与交于、两点，且，证明：直线过定点．

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参考答案：

1．

【分析】先根据新定义，利用二倍角公式判断最小时最小，再设，利用距离公式，结合二次函数最值的求法求得最小值，即得结果.

【详解】解：如图，，

要使最小，则最大，即需最小.

设，则，

∴当，即时，，，

此时或，.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：

本题的解题关键在于理解新定义，将的最小值问题转化为线段最小问题，结合二次函数求最值即突破难点.

2．1

【分析】由已知向量相等得到，由椭圆的对称性得关于原点对称得到的值，

由得到四边形为矩形，计算的面积即可.

【详解】由知，由椭圆的对称性得关于原点对称，所以-1.若，则四边形为矩形，所以

故答案为：，1.

3．

【分析】根据几何关系及椭圆的定义即可求解.

【详解】过原点作于点,则为的中点，

又∵