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专题7勾股定理与面积问题（解析版）

第一部分典例剖析

类型一利用面积求高

1．（2019秋•兰考县期末）一个直角三角形两条直角边的长分别为5，12，则其斜边上的高为（）

60

A．B．13C．6D．25

13

思路引领：利用勾股定理求出斜边长，再利用面积法求出斜边上的高即可．

解：∵直角三角形的两条直角边的长分别为5，12，

∴斜边为52+122=13，

11

∵S△ABC=×5×12=×13h（h为斜边上的高），

22

60

∴h=．

13

故选：A．

总结提升：此题考查了勾股定理，以及三角形面积公式，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．

2．（2022秋•南岗区校级月考）如图，网格中的每个小正方形的边长均为1，则线段AB的长为5．

（1）过点A画出线段BC的垂线段，垂足为点D；

（2）过点C画出线段AB的垂线，垂足为点E；

（3）直接写出点C到直线AB的距离为．

思路引领：（1）（2）根据三角形的高的定义作出图形即可；

（3）利用勾股定理，面积法求解即可．

解：（1）如图，线段AD即为所求；

（2）如图，线段CE即为所求；

（3）∵AB=32+42=5，BC＝16，AD⊥BC，CE⊥AB，

11

∴•BC•AD=•AB•CE，

22

64

∴CE=．

5

64

故答案为：．

5

总结提升：本题考查作图﹣应用与设计作图，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用

数形结合的思想解决问题，学会利用面积法解决问题．

二、利用乘法公式求面积或长度

3．（2021秋•新会区校级期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC+BC＝14cm，AB＝10cm，则Rt△ABC

2

的面积是cm．

1

222

思路引领：根据勾股定理得到AC+BC＝AB＝100，根据完全平方公式求出2AC•BC＝96，得到AC•BC

2

＝24，得到答案．

解：∵∠C＝90°，

222

∴AC+BC＝AB＝100，

∵AC+BC＝14，

2

∴（AC+BC）＝196，

22

即AC+BC+2AC•BC＝196，

∴2AC•BC＝96，

1

2

∴AC•BC＝24，即Rt△ABC的面积是24cm，

2

故答案为：24．

总结提升：本题考查的是勾股定的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那

222

么a+b＝c．

4．（2011秋•涟源市校级期末）直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，则面积为（）

A．12cm2B．6cm2C．8cm2D．10cm2

思路引领：本题可从直角三角形的