高等数学（第二版）上册课件：换元积分法.pptx

换元积分法4.2.2第二类换元法4.2.1第一类换元法（凑微分法）

4.2.1第一类换元法（凑微分法）例4.2.1求分析无法直接利用积分公式，因此可以将作为整体，凑出积分变量，再进行计算.解令，则由此可见,计算的关键步骤是把它变成,然后通过变量代换就可化为易计算的积分.

而如果又是另一个变量的函数是一般地，如果的一个原函数，则且可微，那么根据复合函数的微分法，有由此得

于是有如下定理：定理4.2则有换元公式注：如果积分不能直接利用利用基本积分公式计算，而其被积表达式能表示为可导，是具有原函数设的形式，较易计算，那么可令且

代入后有这样就得到了的原函数.这种积分称为第一类换元法.由于在积分过程中，先要从被积表达式中凑出一个积分因子因此第一类换元法也称为凑微分法.

解分析被积函数是与构成的复合函数，因此作变量代换.例4.2.2求

例4.2.3求解被积函数可看成与构成的复合函数，虽没有这个因子，但我们可以凑出这个因子：如果令便有

，把它化为一般地，对于积分总可以作变量代换

例4.2.4求解令,则在方法比较熟悉后，不定积分的换元法就可以删繁就简，略去设中间变量和换元的步骤，而直接凑成基本积分公式的形式．，即分析可将作为

例4.2.5求分析将作为，将其凑成微分部分.解：

例4.2.6求分析凑微分，利用积分公式计算.解

类似的方法可以计算如下：

解类似地可得例4.2.7求和分析将正切函数转化成正余弦，再凑微分.

解类似地可得例4.2.8求和分析此题可以转化为正余弦，也可直接变形凑微分计算，采用第二种方法较为简单.

例4.2.9求分析含有的函数求积分，通常利用求解.解

例4.2.10求分析原式变形，利用求解.解

解类似地可得例4.2.11求下列不定积分.(1)(2)(1)分析通常三角函数平方的积分需要先降次再积分.

(2)分析正割的4次方，充分利用凑出微分求解.解目前为止，我们已经掌握所有三角函数以及三角函数平方的积分了.

(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)凑微分是利用第一类换元法求解积分的主要技巧，熟记常见凑微分的形式往往会提高解题速度和能力。一般地，有如下几种常见的凑微分形式：

4.2.2第二类换元法第一类换元法是通过变量代换，将积分化为积分．第二类换元法是通过变量代换，将积分化为积分上述公式的成立是需要一定条件的，首先等式右边的不定积分要存在，即被积函数在求出后一个积分后,再以反函数代回去,这样换元积分公式可表示为:的

有原函数；其次,的反函数要存在.我们有下面的定理．定理4.3设函数连续,单调、可导，并且，则有换元公式证明设的原函数为，记,利用复合函数的求导法则及反函数的导数公式可得：

即是的原函数，所以有：证明完毕．第二类换元法通常适用于以下几个类型：1.被积函数含有2.被积函数含有3.被积函数含有

下面逐个举例说明．分析为使被积函数有理化，利用三角公式解令，,则它是的单调可导函数，具有反函数且例4.2.12求

因而t

分析利用公式，可以去掉根号.解令，如图，则于是其中

例4.2.13求

例4.2.14