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泰勒(Taylor)公式3.3.1泰勒定理3.3.2常用函数的麦克劳林展开式3.3.3泰勒公式的应用
3.3.1泰勒公式的建立1.设在处连续，则有2.设在处可导，则有例如，当很小时，，（如下图）
需要解决的问题如何提高精度?如何估计误差?寻找函数,使得则误差=设函数在含有的开区间内具有直到(n+1)阶导数，为多项式函数误差=
和的确定分析1.若在点相交2.若有相同的切线3.若弯曲方向相同近似程度越来越好
令......又，，......，（1）求n次近似多项式故
(2)余项估计令=（称为余项),则有（在和之间）（在和之间）（在和之间）
泰勒定理如果函数在处存在n阶导数，那么对在的某个邻域内的任意，有这里记，为的高阶无穷小。①式称为的n阶泰勒公式，称为佩亚诺余项。
证明已知在处有n阶导数与之间存在误差由泰勒公式可知：下面证明误差是比高阶的无穷小，即0
因为当时， 以及都是无穷小，所以由洛必达法则，有将代入上式得得证。
泰勒中值定理如果函数在含有的某个领域内具有阶导数，则对任意，可以表示为的一个n次多项式与一个余项之和，即其中（在与之间）上式中的也称为拉格朗日余项。
特例当n=0时，就是我们熟悉的拉格朗日中值公式：当=0时，带有拉格朗日余项的泰勒公式就称为麦克劳林公式，即这里于是，上述函数在x=0点可以得到近似代替：
3.3.2常用函数的麦克劳林展开式
【例3.3.1】求的n阶麦克劳林展开式解由于，所以，取拉格朗日余项，得麦克劳林展开式为由公式可知估计误差：设x0,取x=1,其误差
【例3.3.2】求的n阶麦克劳林展开式解因为所以，，，，于是误差当m=1，2，3时，有近似公式：误差分别不超过，，
【例3.3.3】将按（x-1）的幂展开解取=1，计算可得所以
【例3.3.4】求的带有佩亚诺余项麦克劳林展开式解因为用代替公式中的，即得
【例3.3.5】利用泰勒公式的麦克劳林公式求解由于所以故原式
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