配套新教材-高中数学选择性必修第三册RJ·A-第六章-6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理.pptxVIP

第六章6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理

学习目标1.通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理.2.了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.3.能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题.核心素养：数学抽象、数学建模、数学运算.

新知学习思考：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？因为英文字母共有26个，阿拉伯数字共有10个，所以总共可以编出26+10＝36种不同的号码.探究：你能说一说这个问题的特征吗？上述计数过程的基本环节是：（1）确定分类标准，根据问题条件分为字母号码和数字号码两类；（2）分别计算各类号码的个数；（3）各类号码的个数相加，得出所有号码的个数.

新知讲解一般地，有如下分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，两类不同方案中的方法互不相同.?

提示：（1）分类加法计数原理中的“完成一件事有两类不同方案”，是指完成这件事的所有方案可以分为两类，即任何一类方案中的任何一种方法都可以完成任务，两类方案中没有相同的方法，且完成这件事的任何一种方法都在某一类方案中.（2）分类时要根据问题的特点确定一个分类标准，即分类要按同一个标准，然后在这个标准下进行分类，一般地，标准不同，分类的结果也不同.（3）分类时要注意满足一个基本要求：完成这件事的任何一种方法必须属于且只能属于某一类方案，即“不重不漏”，如下所示.不重：任意不同类的两种方法是不同的方法；不漏：每一种方法必属于其中一类.

典例剖析例1在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A，B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如下表.A大学B大学生物学数学化学会计学医学经济学物理学法学工程学?如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？?

???分类加法计数原理的推广

?这里要完成的事情仍然是“给一个座位编号”，但与前一问题的要求不同.在前一问题中，用26个英文字母中的任意一个或10个阿拉伯数字中的任意一个，都可以给出一个座位号码.但在这个问题中，号码必须由一个英文字母和一个作为下标的阿拉伯数字组成，即得到一个号码要经过先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字这样两个步骤.用右图所示的方法可以列出所有可能的号码.也可以这样思考：由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任意一个组成一个号码，而且它们互不相同，因此共有6×9＝54种不同的号码.上图是解决计数问题常用的“树状图”.你能用树状图列出所有可能的号码吗？

由树状图可知，共有6×9＝54种不同的号码.

新知讲解一般地，有如下分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，无论第1步采用哪种方法，与之对应的第2步都有相同的方法数.?

提示：（1）分步乘法计数原理中的“完成一件事需要两个步骤”，是指完成这件事的任何一种方法都要分成两个步骤，任取一种方法，相继完成这两个步骤就能完成这件事，即各个步骤是相互依存的，每个步骤都要做完才能完成这件事.（2）分步时，要根据问题的特点确定分步标准，标准不同，分成的步骤数也会不同.（3）合理的步骤应当满足：①完成这件事情必须连续做完所有步骤，即分别从各个步骤中选一种完成该步骤的方法，将各步骤中所选方法依次完成就得到完成这件事情的一种方法；②完成任何一个步骤可选用的方法与其他步骤所选用的方法无关.简而言之，就是应用分步乘法计数原理时要做到“步骤完整”.

典例剖析例2某班有男生30名、女生24名，从中任选男生和女生各1名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？?

分步乘法计数原理的推广???

典例剖析?

例4要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有多少种不同的挂法？解：从3幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：第1步，从3幅画中选1幅挂在左边墙上，有3种选法；第2步，从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，有2种选法.根据分步乘法计数原理，不同挂法的种数为N＝3×2＝6.这6种挂法如图所示.

提示：分类加法计数原理和分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题.区别在于：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法互相依存，只有每一个步骤都完成才算做完这件事.

例5给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母A~G或U~Z，后两个字符要求用数字1~9，最多可以给多少个程序模块命名？解：由分类加法计数原理，首字符不同选法的种数为7+6＝13.