2025高中数学必修第一册人教A版同步练习：第二章2.2.1　基本不等式、求最大(小)值及其应用.docx

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2.2基本不等式

第1课时基本不等式、求最大(小)值及其应用

基础过关练

题组一对基本不等式的理解

1.下列说法正确的是()

A.a2+b2≥2ab成立的前提条件是a≥0,b≥0

B.a2+b22ab成立的前提条件是a,b∈R

C.a+b≥2ab成立的前提条件是a≥0,b≥0

D.a+b2ab成立的前提条件是ab0

2.不等式a2+4a2≥4中,

A.a=2B.a=±2

C.a=2D.a=±2

3.(2024广东惠州实验中学月考)下列不等式以及不等式中的等号一定成立的是()

A.x2+2x

B.x+3+1x+3≥2(

C.x2+5

D.x-1+1x-1≥2(

题组二利用基本不等式求最大(小)值

4.(2024湖南师大附中月考)已知x2,则4x-2+4x

A.6B.8C.12D.16

5.(2024河南郑州外国语学校月考)已知0a2,则4a+12?

A.72B.4C.9

6.(2024山东日照实验高级中学段考)已知x1,则x+4x-1的最大值是

7.(教材习题改编)已知0x1,则x(4-3x)取得最大值时x的值为.?

8.(2024天津耀华中学月考)(1)已知x54,求4x-2+14

(2)设x-1,求(x+5)(

题组三利用基本不等式求最大(小)值的应用

9.(2024安徽安庆新安中学月考)设x0,y0,且不等式(ax+y)1x+1y≥9恒成立,

A.0a≤4B.0a≤2C.a≥4D.a≥2

10.若?x3,ax2+9x2-9恒成立,则a

11.(2024四川成都外国语学校月考)已知?x∈{x|x1},x2+1x-1m恒成立,则实数

能力提升练

题组一对基本不等式的理解

1.已知a,b为正实数,则“aba+b≤2”是“ab≤

A.充要条件

B.必要不充分条件

C.充分不必要条件

D.既不充分也不必要条件

2.(多选题)下列结论中正确的是()

A.若a,b≠0,则ba+

B.若x0,则x+4x≥

C.若a0,b0,则b2a+a

D.若a,b∈R,则a+b

3.(多选题)(2024四川成都七中月考)若a0,b0,a+b=2,则下列不等式恒成立的是()

A.ab≤1B.a+b≤2

C.a2+b2≥2D.1a+1b

题组二利用基本不等式求最大(小)值

4.(2024山东日照实验高级中学段考)已知0x32,则1x+2

A.43

C.83

5.已知ab0,则a2+16b(

A.8B.82C.16D.162

6.(2024湖北宜昌部分省级示范高中月考)(1)已知正数x,y满足x+y=1,求1x+41+

(2)求x2+7x

7.(2024江苏镇江扬中段考)已知a0,b0.

(1)若a+b=4,求12a+2b的最小值及此时

(2)若2a2+b2=4a+4b,求1a+1b的最小值及此时a,b

(3)若a2+3b2+4ab-6=0,求5a+9b的最小值及此时a,b的值.

题组三利用基本不等式求最大(小)值的应用

8.(多选题)(2024福建厦门段考)已知m0,xy0,当x+y=2时,不等式2x+my≥4恒成立,则m

A.1B.2C.2D.22

9.(2024广东广州执信中学月考)已知x0,y0,若不等式x+xy≤a(x+y)恒成立,则实数a的最小值为()

A.2-12B.2-1C.2

10.(2024山东青岛二中段考)当xa时,关于x的不等式2x2-2ax+2x-a

教材深研拓展

11.(多选题)(2024福建三明一中月考)《九章算术》中“勾股容方”问题:“今有勾五步,股十二步,问勾中容方几何?”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法:如图(1),用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形,每个直角三角形再分成一个内接正方形(黄)和两个小直角三角形(朱、青).将三种颜色的图形进行重组,得到如图(2)所示的矩形,该矩形长为a+b,宽为内接正方形的边长d.由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论,如图(3),设D为斜边BC的中点,作直角三角形ABC的内接正方形的对角线AE,过点A作AF⊥BC于点F,则下列推理正确的是()

A.由题图(1)和题图(2)的面积相等得d=2

B.由AE≥AF可得a2+

C.由AD≥AE可得a2+

D.由AD≥AF可得a2+b2≥2ab

12.(2024湖南长沙市一中段考)设a0,b0,称2aba+b为a,b的调和平均数.如图,C为线段AB上的点,且AC=a,CB=b,O为AB的中点,以AB为直径作半圆,过点C作AB的垂线交半圆于D,连接OD,AD,BD,过点C作OD的垂线,垂足为E,则图中线段OD的长度是