课时规范练43　数列中的综合问题--2025湘教版高中数学一轮复习课件（新高考新教材）.pdfVIP

2025高考总复习

课时规范练43数列中的综合问题

1.(2021·新高考Ⅰ,17)已知数列{a}满足a1,a

n1n+1

(1)记ba,写出b,b,并求数列{b}的通项公式;

n2n12n

(2)求{a}的前20项和.

n

解(1)(方法一)显然2n为偶数,则a2n+1a2n+2,a2n+2a2n+1+1,

所以aa+3,即bb+3,且baa+12,

2n+22nn+1n121

所以{b}是以2为首项,3为公差的等差数列,于是b2,b5,b3n-1.

n12n

123456

(方法二奇偶分类讨论)由题意知a11,a22,a34,

所以ba2,baa+15.

12243

由an+1-an1(n为奇数)及an+1-an2(n为偶数)可知,数列从第一项起,

若n为奇数,则其后一项减去前一项的差为1,

若n为偶数,则其后一项减去前一项的差为2.

所以a-a3(n∈N),则bb+(n-1)×33n-1.

n+2n+n1

123456

则ba(a-a)+(a-a)+…+(a-a)+a

n2n2n2n-12n-12n-2211

1+2+1+2+…+2+1+a1n×1+2(n-1)+13n-1.

所以b2,b5,数列{b}的通项公式b3n-1.

12nn

123456

(2)(方法一奇偶分类讨

论)Sa+a+a+…+a(a+a+a+…+a)+(a+a+a+…+a)

20123201351924620

(方法二分组求和)由题意知数列{a}满足a1,aa+1,aa+2,

n12n2n-12n+12n

所以a2n+1a2n+2a2n-1+3.

所以数列{a}的奇数项是以1为首项,3为公差的等差数列;

n

同理,由aa+1a+3知数列{a}的偶数项是以2为首项,3为公差的

2n+22n+12nn

等差数列.

从而数列{a}的前20项和为S(a+a+a+…+a)+(a+a+a+…+a)

n2013