高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4.2.2 直线与抛物线的位置关系课件 新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学课件.pptVIP

第二章

圆锥曲线与方程

2.4抛物线

2.4.2抛物线的简单几何性质

第2课时直线与抛物线的位置关系

1自主预习·探新

知

2互动探究·攻重

难

3课堂达标·固基

础

4课时作业·练素

能

自主预习·探新知

情景引入

一只很小的灯泡发出的光，会分散地射向各方，但把它装在手电筒里，

经过适当调节，就能射出一束较强的平行光，这是什么原因呢？

提示：手电筒内，在小灯泡的后面有一个反光镜，镜面的形状是一个由

抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面，这种曲面叫抛物面，抛物线有一条重

要性质，从焦点发出的光线，经过抛物面上的一点反射后，反射光线平行于抛

物线的轴射出，手电筒就是利用这个原理设计的．

新知导学

直线与抛物线的位置关系

直线与抛物线公共点的个数可以有__0_个__、__1_个__或__2_个___.

将直线方程与抛物线方程联立，消元后得到一元二次方程，若Δ＝0，则

直线与抛物线_相__切____，若Δ0，则直线与抛物线_相__交____，若Δ0，则直线与抛

物线_没__有__公__共_点_____.特别地，当直线与抛物线的轴平行时，直线与抛物线有

__一___个公共点．

预习自测

1．在抛物线y2＝8x中，以(1，－1)为中点的弦所在直线的方程是C()

A．x－4y－3＝0

B．x＋4y＋3＝0

C．4x＋y－3＝0

D．4x＋y＋3＝0

2．过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点，若点A、B在抛物线

准线上的射影分别为A1，B1，则∠A1FB1为(C)

A．45°B．60°

C．90°D．120°

C

B

2

互动探究·攻重难

互动探究解疑

1

直线与抛物线的位置关系

典例1已知抛物线C：y2＝－2x，过点P(1,1)的直线l斜率为k，当k取何

值时，l与C有且只有一个公共点，有两个公共点，无公共点？

[思路分析]直线与抛物线公共点的个数，就是直线方程与抛物线方程

联立方程组解的个数，由判别式可讨论之．

『规律总结』直线与抛物线交点个数的判断方法

设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p0)，将直线方程与抛物线方程

联立整理成关于x的方程ax2＋bx＋c＝0，

①若a≠0，

当Δ0时，直线与抛物线相交，有两个交点；

当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；

当Δ0时，直线与抛物线相离，无交点．

②若a＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴

或与对称轴重合，因此直线与抛物线有一个交点是直线与抛物线相切的必要不

充分条件．

跟踪练习1

8

2

与抛物线有关的中点弦问题

典例2已知A、B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为(1,0)，

线段AB恰被M(2,1)所平分．

(1)求抛物线E的方程；

(2)求直线AB的方程．

跟踪练习2

若本例中条件“线段AB恰被M(2,1)所平分”改为“线段AB恰被M(1,1)所

平分”，问这样的直线AB是否存在？若存在，求出直线AB的方程，若不存在，

说明理由．

3

抛物线性质的综合应用

典例3已知点A、B是抛物线y2＝2px(p0)上的两点，且OA⊥OB.

(1)求两点的横坐标之积和纵坐标之积；

(2)求证：直线AB过定点．

『规律总结』应用抛物线性质解题的常用技巧

1．抛物线的中点弦问题用点差法较简便．

2．轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连

线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系．

3．在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题．解决这

类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等．解决这些问题的

关键是代换和转化．

4．圆锥曲线中的定点、定