高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充和复数的概念 3.1.1 数系的扩充和复.pptVIP

;§3.1数系的扩充和复数的概念;[课标要求]

1．了解数系扩充的必要性及其过程．

2．理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件．(重点、难点)

3．掌握复数的表示法及有关概念．(重点)

4．掌握复数的分类及复数相等的充要条件的应用．(重点);复数概念、代数表示法、复数相等

1．虚数单位i

在实数集R中添加新数i，叫_________．并且规定：

①它的平方等于______，即i2＝______．

②实数可以与它进行四则运算，在进行四则运算时，加法和乘法都满足_______律、______律，以及乘法对加法满足_______律．;2．复数和复数集

复数：形如________________的数叫做复数．

复数集：数集{a＋bi|a，b∈R}为复数集，即复数的全体为复数集，用C表示．

3．复数的表示：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，a与b分别叫做复数z的_______与_______．;5．复数相等的充要条件

设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di?_______________．;知识点一复数的概念

【问题1】阅读教材，谈一谈你对虚数单位i的理解．

答案(1)i2＝－1.

(2)i与实数之间可以运算，亦适合加、减、乘的运算律．

(3)由于i20与实数集中a2≥0(a∈R)矛盾，所以实数集中很多结论在复数集中不再成立．

(4)若i2＝－1，那么i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1.;【问题2】如何理解复数的代数形式a＋bi?

答案复数的代数形式a＋bi(a，b∈R)

(1)要求a，b必须是实数，否则不是代数形式．

(2)若z是纯虚数，可设z＝bi(b≠0，b∈R)；若z是虚数，可设z＝a＋bi(b≠0，b∈R)；若z是复数，可设z＝a＋bi(a，b∈R)．

(3)注意形如bi的数不一定是纯虚数，只有b≠0且b∈R时，才是纯虚数，否则不是纯虚数．;知识点二两个复数相等

【问题1】两个复数能否比较大小？

答案如果两个复数不全是实数，那么它们不能比较大小．

【问题2】两个复数相等的充要条件是什么？

答案复数a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．;题型一复数的有关概念

【例1】下列命题中，正确命题的个数是

①复数－3i＋5的实部是－3，虚部5；

②若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；

③若a，b∈R且a＞b，???a＋i＞b＋i；

④若x，y∈C，x2＋y2＝0，则x＝y＝0.

A．0B．1 C．2 D．3;【解析】①－3i＋5＝5－3i，∴－3i＋5的实部是5，虚部是－3.①是假命题．②由于x，y∈C，所以x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，②是假命题．③由于两个虚数不能比较大小，∴③是假命题．④当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0成立，∴④是假命题，故选A.

【答案】A;●规律方法

在理解概念时，一定要抓住概念的本质，尤其是应该满足的条件．利用举反例的形式否定一个命题是很有效的方法．本例重点考查了复数的实部和虚部的概念．;1．(1)若复数z＝3＋bi0(b∈R)，则

A．b0 B．b＝0

C．b0 D．以上都不正确

(2)给出下列三个命题：

①1＋i2＝0；

②若z∈C，则z2≥0；

③复数3－4i的实部与复数4－3i的虚部相等．

其中正确命题的个数为

A．0 B．1 C．2 D．3;解析(1)由z0知z为实数，故b＝0.

(2)对于①，∵i2＝－1，∴1＋i2＝0，故①正确；

对于②，∵z∈C，∴z2∈C，

∴z2可能为虚数，故②错误；

对于③复数3－4i的实部为3，复数4－3i的虚部为－3，故③错误．

答案(1)B(2)B;●规律方法

利用复数相等进行解题的技巧

(1)利用两个复数相等进行解题的依据是实部与虚部分别相等．

(2)在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R.忽略条件后，不能成立．因此在解决复数相等问题时，一定要把复数的实部与虚部分离出来，再利用复数相等的充要条件化复数问题为实数问题来解决．;2．若关于x的方程(1＋i)x2－2(a＋i)x＋5－3i＝0(a∈R)有实数解，求a的值．;●规律方法

(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当满足①b＝0时复数z是实数，②b≠0时复数z是虚数，③a＝0，b≠0时复数z是纯虚数．研究一个复数在什么情况下是实数、虚数或纯虚数时，首先要保证这个复数的实部、虚部都要有意义．

(2)特别提醒：特别注意复数是实数、虚数和纯虚数时，应先化为复数的标准代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，再依据概念求解．;3．(1)若(x2－1)＋(