人教版八年级数学下册第十八章平行四边形第23课时正方形的判定课件.ppt

第十八章平行四边形第23课时正方形的判定

知识重点知识点一：正方形的判定1（在矩形基础上判定）（1）有一组邻边?相等?的矩形是正方形.?几何语言表述：在矩形ABCD中，?AB＝BC?，?∴?四边形ABCD是正方形?.?相等AB＝BC四边形ABCD是正方形

（2）对角线?垂直?的矩形是正方形.?几何语言表述：在矩形ABCD中，?AC⊥BD?，?∴?四边形ABCD是正方形?.?垂直AC⊥BD四边形ABCD是正方形

对点范例1.如图18－23－1，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，添加下列一个条件，能使矩形ABCD成为正方形的是（B）图18－23－1BA.BD＝ABB.DC＝ADC.∠ABC＝90°D.OD＝OC

知识重点知识点一：正方形的判定2（在菱形基础上判定）（1）有一个角为?直角?的菱形是正方形.?几何语言表述：在菱形ABCD中，?∠A＝90°?，?∴?四边形ABCD是正方形?.?直角∠A＝90°四边形ABCD是正方形

（2）对角线?相等?的菱形是正方形.?几何语言表述：在菱形ABCD中，?AC＝BD?，?∴?四边形ABCD是正方形?.?相等AC＝BD四边形ABCD是正方形

对点范例2.（2022·虞城模拟）如图18－23－2，平行四边形ABCD的对角线互相垂直，要使平行四边形ABCD成为正方形，还需添加的一个条件是?∠ABC＝90°（或AC＝BD）?.（只需添加一个即可）?图18－23－2∠ABC＝90°（或AC＝BD）

典例精析【例1】如图18－23－3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，F.求证：四边形CFDE是正方形.图18－23－3思路点拨：利用正方形的判定定理：有一组邻边相等的矩形是正方形证明即可.

证明：∵∠ACB＝90°，DE⊥BC，DF⊥AC，∴四边形CFDE是矩形.又∵CD平分∠ACB，∴DE＝DF.∴四边形CFDE是正方形.

举一反三3.如图18－23－4，在矩形ABCD中，点E在边AB上，连接DE，将矩形ABCD沿DE折叠，点A的对应点F落在边CD上，连接EF.求证：四边形ADFE是正方形.图18－23－4

证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝90°.由折叠的性质，得∠DFE＝∠A＝90°.∴∠A＝∠ADF＝∠DFE＝90°.∴四边形ADFE是矩形.又∵AE＝EF，∴四边形ADFE是正方形.

典例精析【例2】如图18－23－5，点E，F，P，Q分别是正方形ABCD的四条边上的点，并且AF＝BP＝CQ＝DE.求证：（1）EF＝FP＝PQ＝QE；（2）四边形EFPQ是正方形.图18－23－5思路点拨：利用正方形的判定定理：有一个角是直角的菱形是正方形证明即可.

证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD.∵AF＝BP＝CQ＝DE，∴DF＝AP＝BQ＝CE.∴△DFE≌△APF≌△CEQ≌△BQP（SAS）.∴EF＝FP＝PQ＝QE.

（2）∵EF＝FP＝PQ＝QE，∴四边形EFPQ是菱形.∵△APF≌△BQP，∴∠AFP＝∠BPQ.∵∠AFP＋∠APF＝90°，∴∠APF＋∠BPQ＝90°.∴∠FPQ＝90°.∴四边形EFPQ是正方形.

举一反三4.（人教八下P67）如图18－23－6，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边的中点.四边形EFGH是什么四边形？为什么？图18－23－6

解：四边形EFGH是正方形.理由如下：连接AC，BD交于点O，设AC交FG于点M，如答图18－23－1.∵E，F，G，H分别是正方形ABCD各边的中点，∴EH是△ABD的中位线，EF是△ABC的中位线，FG是△BCD的中位线，HG是△ACD的中位线.答图18－23－1

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典例精析【例3】（创新题）如图18－23－7，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝CD，E是对角线BD上的一点，且AE＝CE.（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如果AB＝BE，且∠ABE＝2∠DCE，求证：四边形ABCD是正方形.图18－23－7思路点拨：根据菱形的判定和性质、正方形的判定，结合全等三角形的判定和性质，根据全等三角形判定证得△ADE≌△CDE是解题的关键.

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∵AD＝CD，∴AB＝CD.∴四边形ABCD为平行四边形.∵AD＝CD，∴四边形ABCD是菱形.

（2）∵△ADE≌△CDE，∴∠DAE＝∠DCE.∵∠ABE＝2∠DCE，∴∠ABE＝2∠DAE.由（1）知，四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD.∴∠ABE＝∠ADE＝2∠DAE.∴∠AEB＝∠ADE＋∠DAE＝3∠DAE.

∵A