2025年广东中考数学第一部分 中考考点精准解读专项4　特殊四边形中的两种垂线.pptxVIP

一、特殊四边形中的常见模型专项4特殊四边形中的两种垂线2025年广东中考数学中考考点专项突破精准提升

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【变式探究1】若AE＜CE，如图，你还能用上面的证明方法吗？试一试吧！提示：用证法一的方法时，∠EFB＋∠EFC＝180°，∠EFC＋∠EDC＝180°(四边形内角和)→∠EFB＝∠EDC

1．在正方形ABCD中，E在对角线AC上，连接DE，BE.结论：BE＝DE.(可通过△ABE≌△ADE或△CBE≌△CDE证得)图形分析

2．在正方形ABCD中，F在对角线AC上，连接DF，BF，GF⊥DF.CF＜AFCF＞AF结论：FD＝FG＝FB.

【变式探究2】(2024·威海)如图，在菱形ABCD中，AB＝10cm，∠ABC＝60°，E为对角线AC上一动点，以DE为一边作∠DEF＝60°，EF交射线BC于点F，连接BE，DF.点E从点C出发，沿CA方向以每秒2cm的速度运动至点A处停止.设△BEF的面积为ycm2，点E的运动时间为x秒.

(1)求证：BE＝EF.证明：设CD与EF相交于点M，如解图1所示.∵四边形ABCD为菱形，∴BC＝DC，∠BCE＝∠DCE，AB∥CD.∵∠ABC＝60°，∴∠DCF＝60°.在△BCE和△DCE中，BC＝DC，∠BCE＝∠DCE，CE＝CE，∴△BCE≌△DCE(SAS).∴∠CBE＝∠CDE，BE＝DE.∵∠DMF＝∠DEF＋∠CDE＝∠DCF＋∠CFE，∠DEF＝∠DCF＝60°，∴∠CDE＝∠CFE.∴∠CBE＝∠CFE.∴BE＝EF.

(2)求y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围.解：过点E作EN⊥BC于点N，如解图2所示，则∠ENC＝90°.∵BE＝EF，∴BF＝2BN.∵四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，∴BC＝AB＝10，∠ACB＝∠ABC＝60°，即∠ECN＝60°.

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?提示：易得△DEF为等边三角形.∴线段DF的长度最短，即BE的长度最短，当BE⊥AC时，BE的长度最短?

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提示：证△BCE≌△DCE→∠EBC＝∠EDC.结合∠EDC＝∠EFC，得BE＝EF＝DE，结论①正确；证△DAE≌△DCG→AE＝CG，∠DCG＝45°，结论②，③正确；假设CE＝CF，则∠CEF＝∠CFE＝22.5°→∠AED＝∠ADE＝67.5°→AE＝AD，但AD不一定等于AE，故结论④错误

2．(2024·甘肃节选)(1)如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在对角线BD和边CD上，AE⊥EF，AE＝EF.用等式写出线段BE，AD，DF之间的数量关系，并说明理由.?

(2)如图2，在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，点F在边CD的延长线上，AE⊥EF，AE＝EF.用等式写出线段BE，AD，DF之间的数量关系为________________.?

类型2直角顶点在边上典例2(人教八下P69习题14改编)数学课本上有一题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F.

求证：AE＝EF.课本中给出证法提示：取AB的中点G，连接EG.请你在图1中补全图形，并写出证明过程.证明：取AB的中点G，连接EG.∵G，E分别为AB，BC的中点，∴AG＝BG＝BE＝CE.∴∠BGE＝45°.∴∠AGE＝135°.∵CF平分∠DCP，∴∠DCF＝45°.

∴∠ECF＝135°.∴∠AGE＝∠ECF.∵∠AEF＝90°，∴∠AEB＋∠FEC＝90°.∵∠AEB＋∠BAE＝90°，∴∠FEC＝∠BAE.∴△AGE≌△ECF(ASA).∴AE＝EF.

【变式探究1】若点E是边CB的延长线上一点，过点E作EF⊥AE，交外角的平分线所在的直线于点F，如图2.结论AE＝EF还成立吗？请说明理由.

解：成立.理由如下：延长AB到点H，使BE＝BH，连接EH.∵AB＝BC，BE＝BH，∴AB＋BH＝BE＋BC，即AH＝EC.易得∠AHE＝∠ECF＝45°，∠EAH＝∠FEC＝90°－∠AEB，∴△AEH≌△EFC.∴AE＝EF.

【变式探究2】若点E为BC边上一动点(点E，B不重合)，将线段EA绕点E顺时针旋转90°得到EF，连接CF，如图3.则①∠DCF的度数为______；解法一：作BM＝BE，证△EAM≌△FEC解法二：作FM⊥BC，交BC延长线于点M，证△ABE≌△EMF，得BE＝MF，AB＝BC＝EM，得BE＝CM＝MF45°

②连接AF，DF，如图4，当AB＝4时，△ADF周长的最小值为_______.提示：作点D关于CF的对称点G，连接AG，CG，FG，则AF＋DF的最小值为AG的长?

1．在正方形ABCD中，E为BC边所在直线上一动点，作EF⊥AE，交外角∠DCM的平分线所