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学必求其心得，业必贵于专精
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课堂导学
三点剖析
一、线性回归
【例1】一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了10次试验,测得的数据如下:
零件数x（个）
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
加工时间y（分)
62
68
75
81
89
95
102
108
115
122
(1)y与x是否具有线性相关关系?
(2)如果y与x具有线性相关关系，求回归直线方程。
解析：（1）列出下表：
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
xi
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
yi
62
68
75
81
89
95
102
108
115
122
xiyi
620
1360
2250
3240
4450
5700
7140
8640
10350
12200
∴=55，=91。7,
=38500，
=87777，=55950.
因此，r=
=
≈0。9998。由于r=0。9998^0。75,
因此x与y之间具有很强的线性相关关系,因而可求回归直线方程.
(2）设所求的回归直线方程为y^=b^x+a^,则有
b^=
≈0。668，
a^=y-b^x=91.7—0。668×55=54.93，
因此,所求的回归直线方程为y^=0.668x+54。93。
二、非线性回归
【例2】在彩色显像中，根据经验，形成染料光学密度y与析出银的光学密度x之间有下面类型的关系式：
y=，其中b^0。现对y及x同时作11次观察,获得11组数据如下表:
编号
xi
yi
1
0。05
0。10
2
0。06
0.14
3
0。07
0.23
4
0。10
0.37
5
0。14
0。59
6
0.20
0.79
7
0。25
1.00
8
0.31
1.12
9
0.38
1。19
10
0.43
1.25
11
0.47
1.29
求出y与x之间的回归方程。
解析：令y′=lny,x′=,则
变换为y′=lna-bx′，
设a^′=lna，b^′=-b,
将观察的数据(xi，yi)转化为(xi′,yi′）如下表：
编号
xi′
yi′
xi′2
xi′yi′
1
20
—2.303
400
-46.06
2
16.667
—1.966
277.79
—32。77
3
14.286
—1。47
204.09
-21
4
10
—0。994
100
—9.94
5
7.143
—0.528
51.02
-3.77
6
5
-0.236
25
-1.18
7
4
0
16
0
8
3.226
0。113
10。41
0.36
9
2.632
0.174
6.93
0.46
10
2。326
0。223
5。41
0。52
11
2。128
0.255
4。53
0。54
∑
87。408
—6.732
1101.17
-112.84
∴==1xi′≈7。95,==-0。612,
b^′=≈=-0。146，
a^′=—b^′≈0.549.
∴线性回归方程为
y^′=0。549—0.146x′。
由于b^=—b^′=0.146,a^==1。73，
∴y与x之间的回归曲线方程为y^=.
三、相关检验
【例3】一只红铃虫的产卵数y和温度x有关，现收集了7组观测数据列成下表，试建立y与x之间的回归方程。
温度x/℃
21
23
25
27
29
32
35
产卵数y/个
7
11
21
24
66
115
325
解析：根据收集的数据，作散点图，如图。
从图中可以看出,样本点并没有分布在某个带状区域内，因此两个变量不呈线性相关关系，所以不能直接利用线性回归方程来建立两个变量之间的关系，根据已有的函数知识,可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y=c1ec2x的附近,其中c1、c2为待定的参数.我们可以通过对数
变换把指数关系变为线性关系,令z=lny,则变换后样本点分布在直线z=bx+a(a=lnc1,b=c2）的附近，这样可以利用线性回归建立y与x的非线性回归方程了。变换的样本点分布在一条直线的附近,因此可以用线性回归方程来拟合.
由上表中的数据可得到变换的样本数据表,如下表：
x
21
23
25
27
29
32
35
z
1。946
2。398
3.045
3.178
4。190
4.745
5.784
可以求得线性回归直线方程为z^=0。272x-3。843.
因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为y^=e0。272x—3.843.另一方面,可以认为图中的样本点集中在某二次曲线y=c3x2+c4的附近,其中c3
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