素能培优(四)破解“双变量问题”的基本策略--2025湘教版高中数学一轮复习课件（新高考新教材）.pdfVIP

2025高考总复习

素能培优(四)破解“双变量问题”的基本策略

在近几年的高考试题中,常常涉及“双变量”的相关问题,以求参数的取值范

围和证明不等式为主,这类问题难度较大,对能力要求较高.破解这类问题

的关键:一是可将双变量的问题转化为某函数的单调性问题,或者利用换元

法转为一个变量;二是若两个变量可以互相表示,消去一个变量,化为一个

变量的问题;三是两个变量不能互相表示,属于极值点偏移问题,可直接构

造函数讨论单调性.

一、转化为函数单调性问题求解

在双变量问题中,如果已知函数的两个自变量x,x及其对应的函数值

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f(x),f(x)所满足的一个不等关系,则可根据函数单调性的定义,转化为与f(x)

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相关的函数的单调性问题,然后利用导数进行求解.

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例1(2024·天津南开模拟)已知函数f(x)lnx+ax+(2a+1)x.

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)若对任意的两个不相等的正数x,x,总有2,求实数a的取值

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范围.

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[对点训练1]已知函数f(x)(a+1)lnx+ax+1.

(1)当a2时,求曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线方程;

(2)设a≤-2,证明:对任意的x,x∈(0,+∞),f|(x)-f(x)|≥4|x-x|.

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(1)解当a2时,f(x)3lnx+2x+1,所以f(1)3,即切点为(1,3).

又f(x)+4x,所以切线斜率为f(1)7,因此曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切

线方程为y7x-4.

因为a≤-2,且x0,所以g(x)≤0.

从而g(x)在(0,+∞)上单调递减,故g(x)≤g(x),即f(x)+4x≥f(x)+4x,故对任意

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的x,x∈(0,+∞),f|(x)-f(x)|≥4|x-x|.

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二、转化单变量问题求解

在双变量问题中,如果能够依据题目条件得出双变量所满足的等量关系式,

则可转化为含单变量的问题,然后再构造函数,利用导数研究该函数的单调

性、极值,进而解决问题.

例2(2024·青海西宁模拟)已知函数f(x)-x+alnx存在两个极值点x,x.

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(1)求a的取值范围;

(2)求f(x)+f(x)-3a的最小值.

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(2)由(1)知a4,x,x是g(x)0的两个实数根,则x+xxxa.

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令h(a)alna-3a(a4),则h(a)lna-2,

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