2020-2024年五年高考数学真题分类汇编专题05平面向量与复数（解析版）.docx

2020-2024年五年高考真题分类汇编

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专题05平面向量与复数

考点

五年考情（2020-2024）

命题趋势

考点1平面向量数量积

（5年5考）

2024天津卷：平面向量基本定理的应用平面向量线性运算的坐标表示数量积的运算律数量积的坐标表示；

2022天津卷：用基底表示向量向量夹角的计算；

2023天津卷：余弦定理解三角形用基底表示向量用定义求向量的数量积基本不等式求积的最大值；

2021天津卷：数量积的运算律；

2020天津卷：已知向量共线(平行)求参数用定义求向量的数量积数量积的坐标表示；

1.向量在高考的考查主要包含了，向量的加减与数量积运算，通常运用基底法与建系法数形结合。

2.平面向量的线性表示，通常会与共线结合，同时结合基本不等式求解最值与取值范围问题.

3.向量的夹角与模长问题是高考中中的重点内容，通常会结合最值与取值范围进行考察

4.复数在高考中主要考察了复数的基本运算，包含了加减乘除运算.

考点2平面向量的线性表示

（5年3考）

2024天津卷：平面向量基本定理的应用平面向量线性运算的坐标表示数量积的运算律数量积的坐标表示；

2023天津卷：余弦定理解三角形用基底表示向量用定义求向量的数量积基本不等式求积的最大值；

2022天津卷：用基底表示向量向量夹角的计算；

考点3向量夹角

（5年1考）

2022天津卷：用基底表示向量向量夹角的计算；

考点4向量模长

（5年2考）

2021天津卷：数量积的运算律；

2020天津卷：已知向量共线(平行)求参数用定义求向量的数量积数量积的坐标表示；

考点5复数的加减乘除运算

（5年2考）

2024天津卷：复数代数形式的乘法运算；

2023天津卷：复数代数形式的乘法运算复数的除法运算；

2022天津卷：复数的除法运算；

2021天津卷：复数的除法运算；

2020天津卷：复数的除法运算；

考点01平面向量数量积

1.（2024·天津·高考真题）在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段CD的三等分点，CE=12DE,BE=λBA+μBC，则λ+μ=；F为线段BE上的动点，

【答案】43

〖祥解〗解法一：以BA,BC为基底向量，根据向量的线性运算求BE，即可得λ+μ，设BF=kBE，求AF,DG，结合数量积的运算律求AF?DG的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求BE，即可得

【详析】解法一：因为CE=12DE，即CE

可得λ=13,μ=1

由题意可知：BC=

因为F为线段BE上的动点，设BF=k

则AF=

又因为G为AF中点，则DG=

可得AF

=1

又因为k∈0,1，可知：当k=1时，AF?DG

解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，

则A-1,0

可得BA=

因为BE=λBA+μBC=

因为点F在线段BE:y=-3x,x∈-13

且G为AF中点，则Ga-1

可得AF=

则AF?

且a∈-13,0，所以当a=-1

故答案为：43；-

2.（2020·天津·高考真题）如图，在四边形ABCD中，∠B=60°,?AB=3，BC=6，且AD=λBC,AD?AB=-32，则实数

【答案】16

〖祥解〗可得∠BAD=120°，利用平面向量数量积的定义求得λ的值，然后以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设点M(x,0)，则点N(x+1,0)（其中0≤x≤5），得出DM?DN关于

【详析】∵AD=λBC，∴AD

AB

=λ×6×3×(-1

解得λ=1

以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy，

∵BC=6，∴C(

∵AB=3,∠ABC=60°，∴A的坐标为A

∵又∵AD=16BC,则D(52,

DM=(x-52

DM?

所以，当x=2时，DM?DN取得最小值

故答案为：16；13

【『点石成金』】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题.

考点02平面向量的线性表示

3．（2023·天津·高考真题）在△ABC中，BC=1，∠A=60°，AD→=12AB→,CE→=1

【答案】14a

〖祥解〗空1：根据向量的线性运算，结合E为CD的中点进行求解；空2：用a,b表示出AF，结合上一空答案，于是AE?

【详析】空1：因为E为CD的中点，则ED+EC=

两式相加，可得到2AE

即2AE=1

空2：因为BF=13BC，则

得到AF+

即3AF=2a

于是AE?

记AB=x,AC=y，

则AE?

在△ABC中，根据余弦定理：BC

于是AE?

由x2+y

故xy≤1，当且仅当x=y=1取得等号，

则x=y=1时，AE?AF