高中数学 第一章 导数及其应用 1.2.3 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（二）课件 新人教.pptVIP

1.2.3基本初等函数的导数公式

及导数的运算法则(二)

2．复合函数的求导法则

复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数

间的关系为__________________，即y对x的导数等于y对u的导

数与u对x的导数的乘积．

1．若对任意的x有f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，则此函数解析

式为()

A．f(x)＝x4B．f(x)＝x4－2

C．f(x)＝x4＋1D．f(x)＝x4＋2

【答案】B

2．曲线y＝xex在x＝1处切线的斜率等于()

A．2eB．e

C．2D．1

【答案】A

【答案】D

4．若f(x)＝(2x＋a)2，f′(2)＝20，则实数a＝________.

【答案】1

求函数的导数

【解题探究】(1)利用和、差的运算法则求导；(2)利用

积的运算法则或先化简再利用和、差的运算法则求导；(3)利用

商的运算法则求导；(4)先化简，再求导．

【解析】(1)y′＝(x5－3x3－5x2＋6)′

＝(x5)′－(3x3)′－(5x2)′＋6′

＝5x4－9x2－10x.

(2)(方法一)y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)′

＝4x(3x－2)＋3(2x2＋3)

＝18x2－8x＋9.

在求导时，对于简单的和、差、商、积可以直接求导；

但有些函数虽然表面形式上为函数的商或积，可在求导前可将

函数化简，然后再求导．

求复合函数的导数

复合函数的求导时，要明确分步计算中对哪个变量求

导，特别要注意中间变量的系数．

导数的应用

2

【例3】已知直线l1为曲线y＝x＋x－2在点(1,0)处的切

线，l2为该曲线的另一条切线，l1⊥l2.

(1)求直线l2的方程；

(2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积．

【解题探究】(1)先求出直线l1的方程，再设出曲线与l2

相切的切点坐标，表示出直线l2的方程，再由条件求解l2即可；

(2)求l1与l2的交点及l1，l2与x轴的交点，即可求解三角形的面

积．

导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的

方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用.方法是先

求出函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程；若

切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件

求切点坐标．

【答案】C

【错因分析】在此题中，y是关于x的函数，而cost是常

数．

1．牢记常用函数的导数公式和运算法则．

2．求函数的导数时为简化运算经常先化简再求导．

3．应用函数的和、差、积、商的求导法则求复杂函数

的导数．难点是商求导法则的理解与应用，易与积的求导法则

混淆．解题时可以先运用函数式的恒等变形，尽可能避免使用

商的求导法则，减少运算量，学习中应适时进行归纳总结．

1．已知函数f(x)＝x4＋ax2－bx，若f′(0)＝－13，f′(－1)

＝－27，则a＋b等于()

A．18B．－18

C．8D．－8

【答案】A

4．(2019年四川成都模拟)已知函数f(x)＝－x3＋2x2＋

2x，若存在满足0≤x0≤3的实数x0，使得曲线y＝f(x)在点(x0，

f(x0))处的切线与直线x＋my－10＝0垂直，则实数m的取值范围

是________．

【答案】[2,6]

【解析】f′(x)＝－x2＋4x＋2＝－(x－2)2＋6.因为

x0∈[0,3]，所以f′(x0)∈[2,6].又因为切线与直线x＋my－10＝0垂

直，所以切线的斜率为m，所以m的取值范围是[2,6]．