专题17椭圆与双曲线共焦点问题微点2椭圆与双曲线共焦点常用结论及其应用（二）.docx

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专题17椭圆与双曲线共焦点问题

微点2椭圆与双曲线共焦点常用结论及其应用（二）

【微点综述】

圆锥曲线是高中数学的重要研究对象，其中具有相同焦点的椭圆与双曲线更是引人瞩目，耐人寻味．在近年高考及全国各地模拟考试中，频繁出现以共焦点的椭圆与双曲线为背景的两离心率之积与两离心率倒数之和的最值与范围问题，此类问题因涉及知识的交汇、体现综合运用能力，学生面对此类问题往往束手无策，本文介绍与此类问题有关的结论，通过具体例子说明结论的应用，供同学们复习时参考．

一、常用结论

【结论1】已知点是椭圆与双曲线共同的焦点，分别为的离心率，点是与的一个公共点，则．

证明：由已知得消去得，

又，因此．

又．

【结论2】已知点是椭圆与双曲线共同的焦点，分别为的离心率，点是与的一个公共点，，则．

证明：由椭圆与双曲线的定义得两式分别平方再相减得．

在中，由余弦定理得，

，

，同理可得，

，

．

由椭圆与双曲线的焦点三角形面积公式得

．

【结论3】已知点是椭圆与双曲线共同的焦点，分别为的离心率，点是与的一个公共点，，则．

证明：由结论2得，又．

注意到．

【结论4】已知点是椭圆与双曲线共同的焦点，分别为的离心率，点是与的一个公共点，则．

证明：．

【评注】结论4反映之间的等量关系式，等式左边是两分式之和，分母分别是，分子分别是，等式右边是与的平方和．

【结论5】已知点是椭圆与双曲线共同的焦点，分别为的离心率，点是与的一个公共点，，则，即．

证明：证法1：在中，由余弦定理得

，即，

，

即，亦即．

证法2：借助焦点三角形面积公式运用面积公式，设椭圆的短半轴长为，双曲线的虚半轴长为，

则，，所以，，，

，整理得：，即．

【结论6】已知点是椭圆与双曲线共同的焦点，点是椭圆与双曲线的一个公共点，则椭圆与双曲线在点处的切线相互垂直．

证明：椭圆在点处的切线方程为，该切线的斜率为，

双曲线在点处的切线，该切线的斜率为，；又由结论1得，

则椭圆与双曲线在点处的切线相互垂直．

【结论7】若点是椭圆与双曲线的一个公共点，且它们在点处的切线相互垂直，则椭圆与双曲线有共同的焦点．

证明：由已知得消去得，

因此．

由已知得，

椭圆与双曲线有共同的焦点．

二、应用举例

共焦点的椭圆与双曲线问题一般有如下八类题型：

（一）公共点问题；

（二）公共焦点三角形问题；

（三）角度问题；

（四）公共点处切线有关问题；

（五）求离心率的值（或取值范围）；

（六）求椭圆、双曲线离心率之积的取值范围或最值问题；

（七）求（为正常数）型最值问题；

（八）求（为正常数）型最值问题．

下面我们在上一节基础上继续举例说明题型（四）至（五）及其解题方法．

（四）公共点处切线有关问题

例1．

1．已知椭圆与双曲线有公共焦点，点在双曲线上，则该双曲线在点处的切线的斜率为．

例2．

2．若两曲线在交点处的切线互相垂直，则称这两条曲线在点处正交．设椭圆与双曲线在交点处正交，则椭圆的离心率为．

共焦点的椭圆与双曲线问题中涉及离心率一般有如下几类题型：

①求离心率的值（或取值范围）．

解题方法：由结论4或结论5得出的等量关系式，利用此关系式求离心率的值（或取值范围）．

②求两离心率之积的取值范围或最值．

解题方法：先由结论4或结论5得出的等量关系式，将问题转化为二元条件最值问题，若求的取值范围或最值问题，一般可考虑均值不等式、三角换元、消元等方法处理．

③求（为正常数）型最值问题．

解题方法：先由结论4或结论5得出的等量关系式，将问题转化为二元条件最值问题，若求（为正常数）的最大值，一般可考虑柯西不等式或三角换元等方法处理．

④求（为正常数）型最值问题．

解题方法：先由结论4或结论5得出的等量关系式，将问题转化为二元条件最值问题，若求（为正常数）型最值，一般可考虑柯西不等式、三角换元或常值代换等方法处理．

我们先看类型（五），下节中我们继续研究题型（六）～（八）及其解法．

（五）求离心率的值（或取值范围）

例3．

3．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，点是的一个公共点，是以一个以为底的等腰三角形，的离心率为，则的离心率是

A．2 B．3 C． D．

例4．

4．已知、是双曲线：（，）与椭圆：的公共焦点，点是曲线、在第一象限的交点，若的面积为，则双曲线的离心率为

A． B． C． D．

例5．（2022河南郑州市·高三一模）

5．已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是在第二象限的公共点.若，则双曲线的离心率为（????）

A． B． C． D．

例6．（2022陕西渭南市，高二期末）

6．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的