高等数学（第二版）上册课件：定积分的性质.pptx

定积分的性质

§5.2.1定积分的基本性质才有意义，为了使也有意义，作如下规定：时，规定1当时，规定2当性质1，在上可积，则在上也可积.即：定积分定义中只说明了当

性质1对于任意有限个函数都是成立的．由此可推导出以下性质.分析利用定积分定义，转化为函数极限的四则运算.

性质2为常数，则在上可积，在上也可积.即：是常数性质3（积分区间可加性）设，在和上都可积，则分析函数在区间怎样分，积分和极限总是不变的，因此可以作为两个区间的积分再取极限.

证明上的积分和等于上的积分和加上的积分和，记为令上式两端同时取得极限，即得按定积分的补充规定，不论是的相对位置如何，总有等式

成立，因此性质可取消的大小限制3中性质4如果在区间上，则性质5(定积分保号性)如果在区间上，则分析积分的保号性转化为函数极限的保号性.

证明因为，所以又由于，因此令，利用极限的性质以便得到要证的不等式推论1(定积分保序性)如果在区间上，则分析构造函数，利用定积分保号性.

证明因为由性质5得再利用性质1，便得到要证的不等式．推论2分析利用绝对值不等式及推论1可证得.证明因为

分别是函数性质6设及在区间上的最大值及最小值，则分析根据在区间上可以采用积分保序性.证明因为所以由性质5推论1得再由性质2及性质4，即得到所要证的不等式．

性质7(定积分中值定理)如果函数在闭区间c上连续，则在积分区间上至少存在一点，使下式成立：这个公式叫做积分中值公式．

分析由性质6易得.证明将同除以，则得这表明，确定的数值介于函数的最小值及最大值之间．根据闭区间上连续函数的介值定理，在上至少存在一点,使得函数在点处的值与这个确定的数值相等，即应有两端各乘以，即得所要证的等式．

积分中值公式的几何解释如下：在区间上至少存在一点，使得以区间为底边、以曲线为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为的一个矩形的面积．可以理解为函数在区间上的平均值．

5.2.2定积分性质的应用例5.2.1估计定积分的值．分析被积函数在积分区间上单调递增，因此可求其最值，进而求积分范围.解在上的最小值，最大值，由性质6可得：即：

例5.2.2比较下列积分值的大小．(1)与；(2)与.分析积分值的大小与积分区间以及被积函数有关.同一区间的两个定积分，被积函数越大，积分值越大,反之，亦成立.

解(1)在闭区间上，