第3节等比数列--2025湘教版高中数学一轮复习课件（新高考新教材）.pdfVIP

2025高考总复习

第3节等比数列

课标解读

1.理解等比数列的概念.

2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.

3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用等比数列的有关知

识解决相应的问题.

1强基础固本增分

知识梳理

1.等比数列的概念

2

(1)等比数列:一般地,如果一个数列从第项起,每一项与它的前一项之

同一个常数

比都等于,那么这个数列称为等比数列,这个常数叫作等

公比

比数列的,公比通常用字母q表示(q≠0),定义的表达式为

等比数列中的任何一项都不为0,且公比q≠0

(2)等比中项:在两个数a,b之间插入数G,使a,G,b成等比数列,则G称为a与b

的等比中项.

微点拨1.若一个数列是常数列,则此数列一定是等差数列,但不一定是等比

数列,如:0,0,0,….

2.在等比数列中,从第2项起,每一项(有穷等比数列的末项除外)都是它前一

项与后一项的等比中项,即an+1an-1(n∈N+,n≥2).

微思考任意两个实数都有等比中项吗?

提示不是.只有同号的两个非零实数才有等比中项,且等比中项有两个,它

们互为相反数.

2.等比数列的有关公式

n-1

aq

1

(1)通项公式:an(n∈N+);

误区警示在运用等比数列的前n项和公式时,必须注意对q1与q≠1分类讨

论,防止因忽略q1这一特殊情形而导致解题失误.

微点拨当q1,a0或0q1,a0时,{a}是递增数列;当q1,a0或

11n1

0q1,a0时,{a}是递减数列;当q1时,{a}是常数列;当q0时,{a}是摆动

1nnn

数列.

3.等比数列的性质

(1)通项公式的推广:anamqn-m(n,m∈N+).

(2)若数列{a}为等比数列,且m+np+q,则aaaa(m,n,p,q∈N).

nmnpq+

特别地,若m+n2t,则aman(m,n,t∈N+).

(3)若数列{a}是等比数列,公比为q,则a,a,a,…(k,m∈N)是公比为

nkk+mk+2m+

qm的等比数列.

(4)如果等比数列{a}的前n项和为S,那么(S-S)2S(S-S),如果公比

nn2nnn3n2n

q≠-1或虽q-1但n为奇数时,S,S-S,S-S成等比数列.

n2nn3n2n

不能认为在任何等比数列中,都有S,S-S,S-S成等比数列

n2nn3n2n

常用结论

2.若