高等数学（第二版）下册课件：差分及差分方程的基本概念.pptx

差分及差分方程的基本概念.9.7.1差分的概念9.7.2差分方程的基本概念

9.2.1差分的概念设变量是的函数，记为，其中自变量(通常表示时间)的取值为离散的等间隔的整数值：定义9.5设函数在处有定义，是定义在相应点的函数．对应的函数值为，则函数在时间的一阶差分定义为其中“”称为“差分”，表示对的差分；类似地有

是在一阶差分的基础上再次差分，即一般地，阶差分定义为同样，可以定义在时刻的二阶差分，二阶差分其中二阶及二阶以上的差分称为高阶差分．

解解解例9.7.1已知（是常数)，求例9.7.2已知，求例9.7.3已知(其中，且），求

解一阶差分的性质如下：例9.7.4设，且，求设，性质9.1已知，(是常数)，则性质9.2对于任意的常数，性质9.3

利用差分的定义可以对以上的性质进行证明，这里只给出性质9.4的证明，其余的类似，请同学自行证明。证明：性质9.4性质9.5

9.2.1差分方程的基本概念的函数方程，称为常差分方程，简称差分方程，出现在方程中差分的最高阶数称为差分方程的阶．阶差分方程的一般形式为定义9.6含有未知函数以及的差分(9.26)其中是已知函数，且一定要在方程中出现．

定义9.7含有自变量以及两个或两个以上函数值的函数方程，称为常差分方程，简称差分方程；出现在差分方程中未知函数的最大下标和最小下标之差，称为差分方程的阶．阶差分方程的一般形式为或(9.27)

①差分方程的两种定义形式可以相互转换．②差分方程的阶数在两种差分方程的定义中是不完全相等的.注：则按照公式（9.27）中方程的阶数定义是一阶差分方程．例如，是按照公式（9.26）定义的二阶差分方程，又可以写成公式（9.27）的形式，即例如，差分方程按照公式（1）是二阶差分方程；如将方程写成

在经济问题中，经常遇到的是公式（9.27）定义的差分方程，因此本节主要讨论形如公式（9.27）的差分方程．相互独立的任意常数的个数等于差分方程的阶数，则称为差分方程的通解；在通解中给任意常数以确定的值，则称为差分方程的特解．确定特解时所需要满足的条件称为定解条件.如果把一个函数代入差分方程，方程两端相等，则称函数是差分方程的解；如果在差分方程的解中含有

对于差分方程把方程代入差分方程有所以是差分方程的解，且为差分方程的通解．而是方程满足条件的特解．常见的定解条件为初始条件：