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四川省成都经开区实验高级中学2023-2024学年高三下第二次测试（数学试题文）试题

考生请注意：

1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设数列的各项均为正数，前项和为，，且，则（）

A．128 B．65 C．64 D．63

2．已知数列的前项和为，且，，，则的通项公式（）

A． B． C． D．

3．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是

A．α内有无数条直线与β平行

B．α内有两条相交直线与β平行

C．α，β平行于同一条直线

D．α，β垂直于同一平面

4．函数图像可能是（）

A． B． C． D．

5．已知，函数，若函数恰有三个零点，则（）

A． B．

C． D．

6．若函数函数只有1个零点，则的取值范围是（）

A． B． C． D．

7．元代数学家朱世杰的数学名著《算术启蒙》是中国古代代数学的通论，其中关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.下图是源于其思想的一个程序图，若，，则输出的（）

A．3 B．4 C．5 D．6

8．已知数列满足：，则()

A．16 B．25 C．28 D．33

9．已知，则（）

A． B． C． D．2

10．若直线经过抛物线的焦点，则（）

A． B． C．2 D．

11．数列满足，且，，则（）

A． B．9 C． D．7

12．已知正项等比数列的前项和为，则的最小值为（）

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．某中学高一年级有学生1200人，高二年级有学生900人，高三年级有学生1500人，现按年级用分层抽样的方法从这三个年级的学生中抽取一个容量为720的样本进行某项研究，则应从高三年级学生中抽取_____人．

14．已知关于的方程在区间上恰有两个解，则实数的取值范围是________

15．如图是一个算法伪代码，则输出的的值为_______________.

16．已知三棱锥中，，，则该三棱锥的外接球的表面积是________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）表示，中的最大值，如，己知函数，.

（1）设，求函数在上的零点个数；

（2）试探讨是否存在实数，使得对恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.

18．（12分）已知椭圆的短轴长为，左右焦点分别为，，点是椭圆上位于第一象限的任一点，且当时，.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若椭圆上点与点关于原点对称，过点作垂直于轴，垂足为，连接并延长交于另一点，交轴于点.

（ⅰ）求面积最大值；

（ⅱ）证明：直线与斜率之积为定值.

19．（12分）已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为．

（Ⅰ）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；

（Ⅱ）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由．

20．（12分）设椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，点D在椭圆C上，的周长为.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过圆上任意一点P作圆E的切线l，若l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，求证：为定值.

21．（12分）如图，已知在三棱锥中，平面，分别为的中点，且.

（1）求证：；

（2）设平面与交于点，求证：为的中点.

22．（10分）设函数，是函数的导数.

（1）若，证明在区间上没有零点；

（2）在上恒成立，求的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】

根据，得到，即，由等比数列的定义知数列是等比数列，然后再利用前n项和公式求.

【详解】

因为，

所以，

所以，

所以数列是等比数列，

又因为，

所以，

.

故选：D

【点睛】

本题主要考查等比数列的定义及等比数列的前n项和公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

2、C

【解析】

利用证得数列为常数列，并由此求得的通项公式.

【详解】

由，得，可得（）.

相减得，则（），又

由，，得，所以，所以为常

数列，所以，故.

故选：C

【点睛】

本小题考查数列的通项与前项和的关系等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力，应用意识.

3、B

【解析】

本题考查了空间两个平面的判定与性质及