高等数学（经济类-上册第2版）课件：函数的微分.pptx

导数、微分1

函数的微分三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则四、微分在近似计算中的应用五、小结2一、微分的定义二、函数可导与可微的关系

一、微分的定义3函数当时，大约是多少？由连续知，3当时，自变量变化不大时，函数值相差很小.能否再精确？又根据导数定义再由极限和无穷小的关系有即或的倍数高阶无穷小主要部分只需进行简单的乘法运算

4定义的微分,若函数在点的附近有定义，使得函数值的增量那么称并把称为记作或在点可微,如果存在不依赖于的常数，可表示为在点即或从而，微分即函数增量的线性主部

二、函数可导与可微的关系函数在点可微的充要条件是且定理1在点可导，“充分性”已知即在点可导,则证明：事实上，就是把前面的讨论一般化.故5

6“必要性”已知在点可微,则证明：以除上式两边，因此,故在点可导,且并令得注1则与是若在点可微,的等价无穷小.事实上，

7注2该定理不仅表明函数在一点处可导和可微是等价的，而且给出了通过导数求微分的方法.时,当特别地，例如，因此，对于可微函数有——自变量的微分

8由得，即，函数的微分与自变量的微分之商等于函数的导数，因此，导数又称为微商.例1求函数的微分.解:例2（2）求函数在处的微分.解:（1）求函数的微分.（3）求函数在处当时的微分，并讨论微分与函数增量的误差.（1）

解:（2）（3）而可见，用近似代替的误差为从而微分的几何意义MNT）P切线上纵坐标相应的增量9

10三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则由，基本初等函数的导数公式都可以转化为基本初等函数的微分公式

11设均可微,则(为常数)分别可微,的微分为微分形式不变5.复合函数的微分则复合函数1.3.4.2.由，还可以得到函数的微分运算法则

12例3求的微分.解:由微分的乘法运算法则而由微分形式不变性可知于是，

13例4求的微分.解:化简，从而

例5（参数方程求导法则）设参数方程中对可导，且利用微分形式不变性证明解:由于故，有14

15例6求由方程所确定的隐函数的解:方程两端微分，有微分和导数即，也就是，从而，

16注3易见，利用微分形式不变性以及微分的运算性质，可以不必先求出复合函数的导数即可求出函数的微分，进一步地，通过微分得到函数的导数.例7在括号中填入适当的函数使得等式成立.上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.数学中的反问题往往出现多值性.(1)(2)注4

17四、微分在近似计算中的应用当很小时,使用原则得近似等式:对于可微函数令（1）与靠近，（2）易计算近似计算时，如何选择？即很小

18例8求的近似值.解:设取代入近似公式得则

19在应用上面得近似公式时，常见的情形，此时需很小，近似公式即为当很小时，可得到下列常用近似公式

20例9求的近似值.解:当很小时，从而，由于

21五、小结1.微分概念微分的定义可导可微2.基本初等函数的微分公式与微分运算法则微分形式不变性无论是自变量或中间变量，上式均成立3.微分的应用——近似计算微分的几何意义切线上纵坐标相应的增量