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四川省成都实验外国语学校2024届高三下学期第三次联合质量测评（5月）数学试题试卷

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角条形码粘贴处。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数，，的零点分别为，，，则（）

A． B．

C． D．

2．若实数、满足，则的最小值是（）

A． B． C． D．

3．已知，则的取值范围是（）

A．[0，1] B． C．[1，2] D．[0，2]

4．如图，在直三棱柱中，，，点分别是线段的中点，，分别记二面角，，的平面角为，则下列结论正确的是（）

A． B． C． D．

5．一艘海轮从A处出发，以每小时24海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是（）

A．6海里 B．6海里 C．8海里 D．8海里

6．设复数满足，在复平面内对应的点为，则不可能为（）

A． B． C． D．

7．已知随机变量的分布列是

则（）

A． B． C． D．

8．已知，且，则在方向上的投影为（）

A． B． C． D．

9．一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）

A． B． C． D．

10．已知数列对任意的有成立，若，则等于（）

A． B． C． D．

11．复数的共轭复数为（）

A． B． C． D．

12．的展开式中的系数是-10，则实数()

A．2 B．1 C．-1 D．-2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知函数，若，则实数的取值范围为__________．

14．的展开式中的系数为__________．

15．若方程有两个不等实根，则实数的取值范围是_____________.

16．设为锐角，若，则的值为____________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）如图，在中，角的对边分别为，且满足，线段的中点为.

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）已知，求的大小.

18．（12分）已知函数.

（1）当时，求函数的图象在处的切线方程；

（2）讨论函数的单调性；

（3）当时，若方程有两个不相等的实数根，求证：.

19．（12分）已知动圆经过点，且动圆被轴截得的弦长为，记圆心的轨迹为曲线．

（1）求曲线的标准方程；

（2）设点的横坐标为，，为圆与曲线的公共点，若直线的斜率，且，求的值．

20．（12分）已知三棱锥中，为等腰直角三角形，，设点为中点，点为中点，点为上一点，且．

（1）证明：平面；

（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．

21．（12分）设都是正数，且，．求证：．

22．（10分）已知椭圆的离心率为，椭圆C的长轴长为4.

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知直线与椭圆C交于两点，是否存在实数k使得以线段为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

转化函数，，的零点为与，，的交点，数形结合，即得解.

【详解】

函数，，的零点，即为与，，的交点，

作出与，，的图象，

如图所示，可知

故选：C

【点睛】

本题考查了数形结合法研究函数的零点，考查了学生转化划归，数形结合的能力，属于中档题.

2、D

【解析】

根据约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案

【详解】

作出不等式组所表示的可行域如下图所示：

联立，得，可得点，

由得，平移直线，

当该直线经过可行域的顶点时，该直线在轴上的截距最小，

此时取最小值，即.

故选：D.

【点睛】

本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．

3、D

【解析】

设，可得，构造（）2