人教版八年级数学下册第十七章勾股定理第12课时勾股定理的逆定理（2）课件.ppt

*第十七章勾股定理知识重点知识点一：勾股数585对点范例②③知识重点知识点二：勾股定理的逆定理的综合应用数学问题对点范例图17－12－190°典例精析【例1】（2022·白云期末）（1）3k，4k，5k（k是正整数）是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；（2）如果a，b，c是一组勾股数，那么ak，bk，ck（k是正整数）也是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由.思路点拨：根据勾股数的定义求解即可.解：（1）3k，4k，5k（k是正整数）是一组勾股数，证明如下：∵k是正整数，∴3k，4k，5k都是正整数.∵（3k）2＋（4k）2＝25k2＝（5k）2，∴3k，4k，5k（k是正整数）是一组勾股数.（2）ak，bk，ck（k是正整数）是一组勾股数，证明如下：∵a，b，c是一组勾股数，且k是正整数，∴ak，bk，ck是三个正整数.∵a2＋b2＝c2，∴（ak）2＋（bk）2＝a2k2＋b2k2＝（a2＋b2）k2＝c2k2＝（ck）2.∴ak，bk，ck（k是正整数）是一组勾股数.举一反三3.（创新题）如果直角三角形的三边的长都是正整数，这样的三个正整数叫做勾股数组.我国清代数学家罗士琳对勾股数组进行了深入研究，提出了各种有关公式400多个.他提出：当m，n为正整数，且m＞n时，m2－n2，2mn，m2＋n2为一组勾股数组.直到现在，人们都普遍采用他的这一公式.6，8，105，12，13（2）若令x＝m2－n2，y＝2mn，z＝m2＋n2，请你证明x，y，z为一组勾股数.（2）证明：∵x＝m2－n2，y＝2mn，z＝m2＋n2，∴x2＝（m2－n2）2＝m4＋n4－2m2n2，y2＝4m2n2，z2＝（m2＋n2）2＝m4＋n4＋2m2n2.∴x2＋y2＝（m4＋n4－2m2n2）＋4m2n2＝m4＋n4＋2m2n2＝z2.∴x，y，z是一组勾股数.典例精析【例2】如图17－12－2，一艘轮船从A港向南偏西48°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km.（1）若轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间为3h，求轮船速度；（2）C岛在A港的什么方向？图17－12－2思路点拨：利用勾股定理的逆定理解决方向角的问题，解题的关键是利用勾股定理求得线段AC的长度.答：轮船速度为25km/h.（2）∵AB2＋AC2＝1002＋752＝15625＝1252＝BC2，∴∠BAC＝90°.∴∠NAC＝180°－90°－48°＝42°.∴C岛在A港的北偏西42°方向.举一反三4.（2022·南宁期末）某天，暴雨突然来袭，两艘搜救艇接到消息，在海面上有遇险船只从A，B两地发出求救信号，如图17－12－3.于是，第一艘搜救艇以20nmile/h的速度离开港口O沿北偏东40°的方向向A地出发，同时，第二艘搜救艇也从港口O出发，以15nmile/h的速度向B地出发，2h后，他们同时到达各自的目标位置.此时，他们相距50nmile.（1）求第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度；（即求∠BOD的大小）（2）由于B地需要救援的人数较多，故需要搭载人数较少的第一艘搜救艇改道去到B地支援，在从A地前往到B地的过程中，与港口O最近的距离是多少？图17－12－3解：（1）由题意，得OA＝20×2＝40（nmile），OB＝15×2＝30（nmile）.∵OB2＋OA2＝402＋302＝2500，AB2＝502＝2500，∴OB2＋OA2＝AB2.∴△OAB为直角三角形，∠AOB＝90°.∵由题意知∠AOD＝40°，∴∠BOD＝50°，即第二艘搜救艇的航行方向是北偏西50°.答图17－12－2典例精析【例3】（创新题）已知在△ABC中，BC＝8，AC＝6，AB＝10.（1）如图17－12－4①，若点D是AB的中点，且∠B＝40°，求∠DCA的度数；图17－12－4（2）如图17－12－4②，若点E是AB边上的动点，求线段CE的最小值.思路点拨：熟练掌握勾股定理的逆定理，以及垂线段最短是解题的关键.*