高中数学 第1章 导数及其应用 1.7 定积分的简单应用 1.7.1 定积分在几何中的应用 1.7..pptVIP

§1.7定积分的简单应用§1.7.1定积分在几何中的应用§1.7.2定积分在物理中的应用

[课标要求]1．会通过定积分求由两条或多条曲线围成的图形的面积．(重点)2．通过具体实例了解定积分在物理中的应用．(难点)

一、定积分在几何中的应用通过定积分的运算可以发现定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能是0.(1)当对应的曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值取正值，且等于_________________．课前预习案·素养养成基础知识整合曲边梯形的面积

(2)当对应的曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值取负值，且等于_________________________．(3)当位于x轴上方的曲边梯形面积等于位于x轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0，且等于__________________________________________________________．曲边梯形的面积的相反数位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x轴下方的曲边梯形的面积

Fs

知识点一定积分在几何中的应用【问题】如何应用定积分来求平面图形的面积？答案①由两条曲线围成的平面图形，只要求出两曲线的交点，确定积分上下限，用定积分表示面积(被积函数为上－下)，然后计算定积分即可．②由多条曲线围成的复杂图形，要先求出曲线不同的交点的横坐标，将积分区间细化，分别求出相应区间曲边梯形的面积再求和．若积分变量选x运算较繁琐，则积分变量可选y，同时要更新积分上、下限．核心要点探究

知识点二定积分在物理中的应用【问题】利用定积分求变速直线运动的路程与求变力所做功的区别？答案利用定积分求变速直线运动的路程，其积分变量是时间，被积函数是速度对时间的函数；利用定积分求变力所做的功，其积分变量是位移，被积函数是力对位移的函数．

课堂探究案·素养提升

●规律方法求由曲线围成图形面积的一般步骤(1)根据题意画出图形；(2)找出范围，确定积分上、下限；(3)确定被积函数；(4)将面积用定积分表示；(5)用微积分基本定理计算定积分，求出结果．

1．计算由曲线y2＝x，y＝x3所围成图形的面积．变式训练

题型二求变速直线运动物体的路程【例2】一质点A以速度v1(t)＝3t2＋1(m/s)在直线l上运动，另一质点B以速度v2(t)＝10t(m/s)也在直线l上运动，若两质点同时同地出发并同向运动，求经过多少时间，质点A比质点B多运动5m?

●规律方法用定积分求变速直线运动的路程(1)把物理问题转化为数学问题是关键：积分变量是时间，被积函数是速度对时间的函数，积分区间是运动的起止时间点．(2)路程是位移的绝对值之和，在求路程时，要注意先判断速度在时间段内是否恒正，否则，要分段求解．特别提醒：忽视速度的正负判断，是导致此类问题出错的主要原因．

2．一点在直线上从时刻t＝0(s)开始以速度v＝t2－4t＋3(m/s)运动，求：(1)在t＝4s时的位置；(2)在t＝4s时运动的路程．变式训练

题型三变力做功【例3】设有一长25cm的弹簧，若加以100N的力，则弹簧伸长到30cm，求使弹簧由25cm伸长到40cm所做的功．

变式训练答案B

短板补救案·素养培优规范解答(七)定积分的综合应用典题示例

[审题指导]

在抛物线y＝－x2＋1(x≥0)上找一点P(x1，y1)，其中x1≠0，过点P作抛物线的切线，使此切线与抛物线及两坐标轴所围平面图形的面积最小．典题试解