2025年广东中考数学第一部分 中考考点精准解读专项2　半角模型(一题一课).pptxVIP

一、特殊四边形中的常见模型专项2半角模型(一题一课)2025年广东中考数学中考考点专项突破精准提升

典例(北师九上P90习题4改编)【图形分析】(1)把一个含有45°角的三角板放在等腰直角三角形ABC中，使45°角的顶点始终与直角顶点A重合.将三角板绕点A旋转，使45°角的两边与边BC所在的直线相交于点D，E，如图1，图2.请在图1，图2中选择一种情况，探究线段BD，DE，EC之间的数量关系.

解：选择图1.将线段AE绕点A顺时针旋转90°得到线段AP，连接BP，DP，并标记相关角，如解图1所示.由旋转的性质，可知AE＝AP，∠EAP＝90°.∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝AC，∠4＝∠C＝45°，∠BAC＝90°＝∠EAP.∴∠1＋∠BAE＝∠2＋∠BAE＝90°.∴∠1＝∠2.∴△ABP≌△ACE(SAS).图1

∴BP＝CE，∠5＝∠C＝45°.∵∠DAE＝45°，∠BAC＝90°，∴∠2＋∠3＝45°.∴∠DAP＝∠1＋∠3＝45°.∴∠DAP＝∠DAE.又∵AE＝AP，AD＝AD，∴△APD≌△AED(SAS).∴DE＝DP.又∵∠5＝∠4＝45°，∴∠DBP＝∠5＋∠4＝90°.∴在Rt△BDP中，由勾股定理，得BD2＋BP2＝DP2，即BD2＋CE2＝DE2.

选择图2.【提示】将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AP，连接EP，CP，如图所示.易证△ADB≌△APC，△ADE≌△APE.易得∠ECP＝90°，从而得BD2＋CE2＝DE2.

【变式探究】(2)现把这个含有45°角的三角板放在正方形ABCD中，使45°角的顶点始终与正方形的顶点A重合.将三角板绕点A旋转，使45°角的两边与正方形的边BC，CD分别相交于点M，N，连接MN，如图3.小源发现：MN＝BM＋DN.针对小源的发现，请给出证明.

证明：延长ND至点E，使得DE＝BM，连接AE，并标记相关角，如解图2所示.∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠ADE＝90°.∴△ABM≌△ADE.∴∠1＝∠2，∠3＝∠E，AM＝AE.∵∠MAN＝45°，∴∠1＋∠4＝45°.∴∠NAE＝∠2＋∠4＝45°.又∵AN＝AN，∴△AMN≌△AEN.∴MN＝EN.∵EN＝DE＋DN＝BM＋DN，∴MN＝BM＋DN.

(3)若旋转使45°角的两边与正方形的边CB，DC的延长线分别相交于点M，N，连接MN，如图4，则(2)中结论是否依然成立？请你加以判断，并说明理由.

解：不成立.理由如下：在DC上截取DE＝BM，连接AE，并标记相关角，如解图3所示.∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABM＝∠ADE＝90°，AB＝AD.∴△ABM≌△ADE(SAS).∴∠1＝∠2，AM＝AE.

∵∠MAN＝∠1＋∠3＝45°，∴∠2＋∠3＝45°.∴∠EAN＝90°－(∠2＋∠3)＝45°.∴∠EAN＝∠MAN.又∵AN＝AN，∴△EAN≌△MAN(SAS).∴MN＝EN.又∵EN＝DN－DE＝DN－BM，∴MN＝DN－BM.

(4)小星在(2)的基础上继续深入研究，提出一个新的问题：如图5，在四边形ABCD中，∠BAD＝2∠EAF，AB＝AD，探究BE，EF，DF之间的数量关系.在探究过程中，小星发现条件不够，请你帮他补上缺少的条件，并完成探究.

解：缺少的条件是：∠B＋∠D＝180°.将△ADF绕点A旋转至AD与AB重合，得到△ABF，并标记相关角，如解图4所示，则△ABF≌△ADF.∴AF＝AF，BF＝DF，∠1＝∠3，∠F＝∠4，∠D＝∠5.∵∠ABE＋∠D＝180°，∴∠ABE＋∠5＝180°，即F，B，E三点共线.

∵∠BAD＝∠2＋∠EAF＋∠3＝2∠EAF，∴∠2＋∠3＝∠EAF.∴∠1＋∠2＝∠EAF＝∠EAF.又∵AF＝AF，AE＝AE，∴△AEF≌△AEF(SAS).∴EF＝EF＝BF＋BE＝DF＋BE，即EF＝BE＋DF.

模型总结图示等腰直角三角形ABC，∠DAE＝45°旋转△AEC到△AFB，或作△ADE关于AD对称的△ADF→△AEC≌△AFB，△ADE≌△ADF旋转△ADB到△AFC，或作△ADE关于AE对称的△AFE→△ADB≌△AFC，△ADE≌△AFE结论BD2＋CE2＝DE2

图示∠B＋∠D＝180°，∠BAD＝2∠EAF，AB＝AD旋转△ADF到△ABG，或作△AEF关于AE对称的△AEG→△ADF≌△ABG，△AEF≌△AEG特殊地，正方形ABCD中，∠EAF＝45°旋转△ADF到△ABG，或作△AEF关于AE对称的△AEG→△ADF≌△ABG，△AEF≌△AEG

结论EF＝BE＋DFEF＝BE＋DF；拓展结论：△AMN∽△BME→△AMB∽△NME(8字相似)→△ANE是等腰直角三角形

(2024·乐山改编)【问