解答题专项❹　第1课时　利用空间向量证明平行、垂直与利用空间向量求距离--2025湘教版高中数学一轮复习课件（新高考新教材）.pdfVIP

2025高考总复习

第1课时利用空间向量证明平行、

垂直与利用空间向量求距离

考情分析:立体几何解答题是高考六大解答题之一,为必考内容.以多面体、

旋转体或组合体为载体,考查空间位置关系判定与性质的应用、空间角或

空间距离.空间位置的判定与证明多用几何法,也可用向量法.空间角或距

离的求解则主要利用向量法,重点考查逻辑推理、直观想象和数学运算的

核心素养,难度中等.

知识梳理

1.直线的方向向量与平面的法向量

(1)直线的方向向量:在直线l上任取两个不同的点A,B,则有向线段

一般地,如果非零向量v与直线l平行,就称v为l的方向向量.

(2)平面的法向量:如果非零向量n所在直线与平面α垂直,则称n为平面α的

法向量.

(3)方向向量和法向量均不为零向量且不唯一.

2.空间位置关系的向量表示

位置关系向量表示

直线l,l的方向向量分别l∥lu∥u⇔∃λ∈R,使得uλu

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为u,ul⊥lu⊥u⇔u·u0

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直线l的方向向量为u,平l∥αu⊥n⇔u·n0

面α的法向量为nl⊥αu∥n⇔∃λ∈R,使得uλn

n,n分别是平面α,β的法α∥βn∥n⇔∃λ∈R,使得nλn

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向量α⊥βn⊥n⇔n·n0

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3.利用空间向量求角

(1)异面直线所成的角

两条异面直线所成的角,可以转化为两条异面直线的方向向量的夹角来求

得.也就是说,若异面直线l,l所成的角为θ,其方向向量分别是u,v,则

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(2)直线与平面所成的角

直线与平面所成的角,可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角.

如图,直线AB与平面α相交

于点B,设直线AB与平面α所成的角为θ,直线AB的方向向量为u,平面α的

(3)平面与平面的夹角

平面α与平面β相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于90°的

二面角称为平面α与平面β的夹角.

若平面α,β的法向量分别是n和n,则平面α与平面β的夹角即为向量n和n

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的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为θ,则

4.利用空间向量求距离

(1)两点间的距离

(2)点到直线的距离

(3)点到平面的距离

已知平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点.过点P作平

面α的垂线l,交平面α于点Q,则n是直线l的方向向量,且点P到平面α

考点一利用空间向量证明平行、垂直

例1如图,正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂

直,2AB2ADCD4,AD⊥CD,AB∥CD,M为CE的中点.求证:

(1)BM∥平面ADEF;

(2)BC⊥平面BDE.

考点一考点二考点三

证明(1)(方法一几何