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学必求其心得，业必贵于专精
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课堂导学
三点剖析
一、离散型随机变量的方差
【例1】袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取一个球,但不放回原袋中，直到取到白球为止，求取球次数的期望及方差。
解析：当每次取出的黑球不再放回时，设随机变量ξ是取球次数,因为每次取出的黑球不再放回去,所以ξ的可能值为1，2，3,4,5，易知
P（ξ=1）==0.2，
P（ξ=2）==0.2，
P（ξ=3)==0.2,
P(ξ=4)==0.2，
P（ξ=5)==0.2。
∴所求ξ的概率分布为：
ξ
1
2
3
4
5
P
0.2
0。2
0。2
0。2
0。2
∴Eξ=1×0。2+2×0。2+3×0。2+4×0。2+5×0。2=3，
Dξ=（1-3）2×0.2+（2—3）2×0.2+(3-3）2×0.2+(4-3）2×0。2+（5—3)2×0.2=2。
温馨提示
求期望和方差的问题关键是求随机变量的分布列，即求每种情况的概率.因此求事件的概率是基础，另外方差可用定义求，也可以用公式Dη=Eη2—（Eη）2求.
二、离散型随机变量的方差的应用
【例2】A、B两台测量仪器测量一长度为120mm的工件时分布列如下：
A。
118
119
120
121
122
0.06
0.14
0.60
0。15
0。05
B.
118
119
120
121
122
0。09
0。15
0.52
0。16
0。08
解析：设随机变量ξ1表示用A仪器测量此产品长度的数值，随机变量ξ2表示用B仪器测量此产品长度的数值，从而有
Eξ1=118×0。06+119×0。14+120×0.60+121×0.15+122×0。05=119.99,
Dξ1=(118-119.99）2×0.06+(119-119.99)2×0.14+（120—119.99）2×0.60+（121—119.99)2×0.15+(122—119.99）2×0。05=0。7299，
Eξ2=118×0.09+119×0。15+120×0.52+121×0。16+122×0。08=119.99,
Dξ2=(118-119。99)2×0。09+（119-119。99)2×0。15+（120—119。99）2×0。52+（121-119。99)2×0.16+(122-119。99)2×0.08=0.9899。
由此可知，Eξ1=Eξ2，Dξ1〈Dξ2.
∴A仪器测量结果波动较小，表明A仪器质量较好.
温馨提示
本题若仅由Eξ1=Eξ2，易产生两台仪器性能一样好的错觉.这表明在实际问题中仅靠期望值不能完全反映随机变量的分布特征,还要研究其偏离平均值的离散程度（即方差)。
三、离散型随机变量的方差的最值
【例3】若随机事件A在1次试验中发生的概率为P（0〈P1）,用随机变量ξ表示A在1次试验中发生的次数。
（1）求方差Dξ的最大值;
（2）求的最大值。
解析:随机变量ξ的所有可能取值为0，1，并且有P（ξ=1）=P，P(ξ=0）=1—P，
从而Eξ=0×(1—P)+1×P=P，
Dξ=(0—P）2×(1—P)+（1-P）2×P=P—P2。
(1）Dξ=P—P2
=-（P2—P+1［]4）+1［］4
=-(P-1[]2）2+1［］4,
∵0〈P〈1,
∴当P=时，Dξ取得最大值，最大值为.
(2)，
∵0〈P1，∴2P+≥.
当2P=,时，等号成立。
因此，当时,取得最大值。
类题演练1
已知某离散型随机变量X服从的分布列为
X
1
0
P
P
q
且0〈P1,q=1—P,求DX。
解析：由题目知X服从两点分布，所以E(X）=p,
D(X)=（1-p)2·p+（0—p)2·q=q2p+p2q=pq.
这表明在两点分布试验中,离散型随机变量X围绕期望的平均波动大小为pq.
变式提升1
已知某离散型随机变量X服从下面的二项分布：
P(X=k）=（k=0,1，2,3，4),求E（X）和D（X)。
解析：根据题目知道离散型随机变量X服从参数n=4和p=0.1的二项分布，所以
E（X)=np=4×0.1=0。4，
D（X）=npq=4×0.1×0。9=0.36。
类题演练2
一次数学测验由25道选择题构成,每个选择题有4个选项,其中有且仅有一个选项是正确的，每个选择正确答案得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分。某学生选对任一题的概率为0。6，求此学生在这一次测验中的成绩的期望与方差.
解析:设该学生在这次数学测验中选择正确答案的个数为X，所得的分数（成绩)为Y，则Y=4X.
由题知X～B（25,0。6），
∴EX=25×0。6=15，
DX=25×0
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