数学课堂导学：二项式定理（二）.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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课堂导学

三点剖析

一、二项式定理的应用——解决整除、余数有关问题

【例1】9192除以100的余数是多少？

解析：9192=(100—9）92=10092-·10091·9+·10090·92-…—·100·991+992，前面各项均能被100整除，只有末项992不能被100整除,于是求992除以100的余数.

∵992=(10—1)92

=1092-·1091+·1090—…+·102—·10+（-1）92

=1092-·1091+·1090—…+·102-920+1

=(1092—·C91+·1090—…+·102—1000)+81

∴被100除的余数为81,即9192除以100的余数为81。

二、二项式定理的应用——近似计算问题

【例2】一个螺旋桨在某种情况下转动，它所消耗的功率P(单位:马力)和螺旋桨的直径D（单位：米）的关系是P=6D5，已知D=3。11,求P(精确到100马力)

解析：∵D=3.11

∴P=6×（3.11)5=6×(3+0.11）5

=6［35+·34·0.11+·33·（0.11）2+…+(0。11)5］

在精确到100马力的要求下，第三项及其以后的各项可以略去不计.

∴P≈6×[35+·34×0。11］

=6×（243+44。55）

=1725。3≈1700

即所消耗的功率约为1700马力.

温馨提示

在用二项式定理求近似值时，要根据题目精确度的要求，合理选取二项展开式的某几项进行求值，特别当h很小而n又很大时，(1+h）n≈1+nh是工业计算中经常使用的粗算公式.

三、二项式定理的应用—-证明不等式

【例3】证明：2≤（1+）n＜3(n∈N＊)

证明：当n=1时,（1+1）1=2，

当n＞1时，（1+）n=1++…＞1+1+＞2,

∴2≤（1+)n

又

∴（1+)n=1+·+·+…+·

≤

=2+1—＜3

∴2≤（1+)n＜3

温馨提示

证明（1+)n＜3还可以有如下的证法:

(1+）n≤

=＜3。

在证明过程中，要善于联想数列求和的各种方法。恰当地进行放缩。

各个击破

【类题演练1】1+3+32+…+399被4除所得的余数为____________.

解析：1+3+32+…+399=[3100—1］

=［(4-1)100—1]=［·4100—499+…-·41+-1]

=8（·498—·497+…+·2—50）

∴原式被4除所得的余数为0.

【变式提升1】求证：32n+3-24n+37能被64整除。

证明：32n+3-24n+37=3×9n+1-24n+37

=3（8+1）n+1-24n+37

=3（8n+1+8n+…+）-24n+37

=3×64(·8n—1+·8n—2+…+）+24—24n+40

=64×3(8n—1+8n—2+…+)+64是64的倍数

故原式可被64整除.

【类题演练2】某公司的股票今天的指数是2，以后每天的指数都比上一天的指数增长0.2%，则100天后这家公司的股票指数约为______________（精确到0.001）.

解析:100天后指数为

2(1+)100=2·（1+0.002）100

=2（1+0.002+×0。0022+×0.0023+…)

≈2（1+0。2+0.0198+0.0012936）=2。442

答案:2.442

【变式提升2】一种A型进口汽车关税税率在2001年是100%,在2006年是25%，2001年的价格是57.6万元(含28.8万元关税税款）.某人在2001年将33万元存入银行，若该银行扣利息税后的年利率是1。8％（五年内不变），且每年按复利计算（每一年的利息计入第二年的本金）,那么五年到期时这笔钱连本带息能否购买一辆A型进口汽车？

解析：33万元存入银行,到2006年得到的本息和为33（1+0。018)5=33（1+0。018+0。0182+…+0.0185）＞33(1+0.090+0.00324）=36。07692。

到2006年A型进口汽车的价格为

28。8+28.8×=36。

因为36。07692＞36,所以五年到期后这笔钱连本带息能够买一辆A型进口汽车。

【类题演练3】当n∈N＊,求证：（1+）n＜(1+）n+1

证明:因为（1+）n=1+·+·+…+·，

其中

=（1-）（1—）…（1-）

＜（1-)(1-)…(1—)

=

=·

∴（1+)n＜1+·+·

=(1+）n

【变式提升3】已知i,m，n是正整数，且1＜i≤m＜n，

（1）证明＜;

（2）证明（1+m）n＞（1+n）m。

证明：（1）略.

（2）由二项式定理：

（1+m）n=，

（1+n）m=。

由（1)知＜（1＜i≤m＜n).

又，