数学课堂导学：回归分析的基本思想及其初步应用.docxVIP

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课堂导学

三点剖析

一、回归方程及其应用

【例1】研究某灌溉渠道水的流速Y与水深x之间的关系，测得一组数据如下：

水深x/m

1。40

1。50

1.60

1。70

1.80

1.90

2。00

2。10

流速Y/(m·s—1）

1。70

1.79

1.88

1。95

2.03

2。10

2.16

2.21

（1）求Y对x的回归直线方程；

（2）预测水深为1.95m时水的流速是多少？

思路分析：从散点图可以直观地看出变量x与Y之间有无线性相关关系，为此把这8对数据描绘在平面直角坐标系中，得到平面上8个点，如图所示.

由图容易看出，x与Y之间有近似的线性相关关系，或者说,可以用一个回归直线方程=a+bx来反映这种关系，这些是我们在必修模块数学3中学过的知识。

进一步观察这8个点，容易发现它们并不是“严格地在一条直线上，对于某个xi，由上式能确定一个=a+bxi，一般地说，由于测量流速可能存在误差,或者受某些随机因素的影响，或者上面的回归直线方程本身就不够精确，与测得的数据yi很可能不相等，即yi=i+ei（i=1，2,…，8)，其中ei是随机误差项。于是，就有yi=a+bxi+ei（i=1，2，…,8）,这就是本题的线性模型。

从上述线性模型出发，我们可以求出a与回归系数b的估计值,，使得全部误差e1，e2,…,e8的平方和达到最小,当然，这是一种很好的估计.最后得到的求，的数学公式为

=

.

解析：（1)可采用列表的方法计算a与回归系数b.

序号

x

y

x2

xy

1

1。40

1.70

1.96

2.380

2

1。50

1。79

2.25

2.685

3

1.60

1.88

2。56

3.008

4

1.70

1.95

2.89

3。315

5

1.80

2.03

3.24

3。654

6

1。90

2.10

3。61

3。990

7

2.00

2。16

4。00

4。320

8

2.10

2.21

4。41

4。641

∑

14.001

5.822

4。922

7.993

于是,=×14.00=1.75，=×15.82=1。9775,

=≈0。733。

=1。9775—×1。75≈0。694.

Y对x的回归直线方程为

=+x=0.694+0。733x.

回归系数=0。733的意思是，在此灌溉渠道中，水深每增加0。1m，水的流速平均增加0.733m/s(本例数据是以0.1m为水深间隔测得的），=0。694可以解释为水的流速中不受水深影响的部分.

(2)由（1）中求出的回归直线方程，把x=1。95代入，易得

=0.694+0。733×1.95≈2.12（m/s）。

计算结果表明，当水深为1。95m时可以预测渠水的流速约为2。12m/s.

二、熟悉建立回归模型的基本步骤，会分析残差图的异常情况

【例2】1993年到2002年中国的国内生产总值（GDP)的数据如下：

年份

GDP

1993

34634。4

1994

46759。4

1995

58478.1

1996

67884.6

1997

74462.6

1998

78345。2

1999

82067.5

2000

89468.1

2001

97314。8

2002

104790。6

（1）作GDP和年份的散点图,根据该图猜想它们之间的关系应是什么？

（2）建立年份的解释变量，GDP为预报变量的回归模型，并计算残差.

(3）根据你得到的模型，预报2003年的GDP，并查资料,看看你的预报与实际的GDP的误差是多少？

（4）你认为这个模型能较好地刻画GDP和年份的关系吗？请说明理由.

解析：(1)

(2）从上图中可以看出，x与y之间有近似的线性相关关系，即可以用一个回归直线方程

=x+表示

通过计算可得

=×19975=1997.5

=×734204.7=73420.47

=7206.5

=73420.47-7206。5×1997。5

=-14321563。28

∴y对x的回归直线模型为

=7206。5x—14321563.28

残差为：

x

1993

1994

1995

1996

1997

y

34634.4

46759。4

58478.1

67884.6

74462。6

—6356。82

-1438。32

3073。88

5273.88

4645.38

x

1998

1999

2000

2001

2002

y

78345。2

82067。5

89468。1

97314。8

104790.6

1321.48

-2162。72

—1968.2

-1328.42

-1059.12

（3）=72