《线性代数（第六版）》 课件 赵树嫄 第4、5章 特征值问题和矩阵的对角化、二次型.ppt

标准形为所用变换矩阵为*例1用配方法化二次型解为标准形，并写出对应的可逆线性变换。含有平方项去掉配方后多出来的项*标准形为所用变换矩阵为*练习解再单位化,*于是所求正交阵为使*练习解特征向量*特征向量*再单位化，拼起来得使*END*习题选解*23、解*特征向量为正交化，*相应齐次线性方程组的基础解系为*再单位化，拼起来得使*解24、设三阶实对称矩阵A的特征值是1,2,3；属于特征值1,2的特征向量分别为(1)求属于特征值3的特征向量；(2)求矩阵A.矩阵的属于不同特征值的特征向量彼此正交,于是有由于实对称即解齐次线性方程组,其系数矩阵为*属于特征值3的特征向量为(2)所以*第五章*本章讨论把一个n元二次齐次多项式化为仅含有完全平方项的和的形式，并研究有关的性质。*第一节二次型与对称矩阵(一)二次型及其矩阵定义称为一个(n元)二次型.本课程只讨论实二次型，即系数全是实数的二次型。*于是上述二次型可以写成如下求和形式**记则上述二次型可以用矩阵形式表示为A称为二次型的矩阵。*A的秩称为该二次型的秩。A称为二次型的矩阵。A是一个实对称矩阵。事实上，由一个实对称矩阵也可构造唯一的实二次型，也就是说，实二次型与实对称矩阵是一一对应的，所以，研究二次型的性质可以转化为研究它的矩阵A所具有的性质。*例1写出二次型的矩阵。解*练习设二次型求二次型的矩阵A和二次型的秩。解所以r(A)=3，即二次型的秩等于3。*练习设二次型的矩阵A和二次型的秩，解所以二次型f的矩阵为*(二)线性变换在平面解析几何中，为了确定二次方程所表示的曲线的性态，通常利用转轴公式：*定义关系式记则上述线性变换可以写成矩阵形式：*C称为该线性变换的矩阵。如果C为正交矩阵，则此线性变换称为正交变换。容易验证，转轴公式是一个正交变换。*(三)矩阵的合同关系由于C是可逆矩阵，所以A和B秩相等，从而两个二次型的秩相等。*定义与矩阵的相似关系类似，矩阵之间的合同关系也具有以下性质：(1)反身性：(2)对称性：(3)传递性：AAABBAABBCAC证明只证(3)，其余留作练习。*第二节二次型与对称矩阵的标准型*(一)二次型的标准形定义下面介绍二次型化为标准形的方法。*1、用拉格朗日配方法化二次型为标准形拉格朗日配方法的基本步骤：2.若二次型中不含有平方项，但是则先作可逆线性变换化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方法配方。1.若二次型含有的平方项，则先把含有的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形;*例1用配方法化二次型解为标准形，并写出对应的可逆线性变换。**第三节实对称矩阵的特征值和特征向量(一)向量内积定义给定Rn中向量实数*向量的内积具有如下基本特性：*向量的长度：定义例1*向量的长度具有如下性质：证略*长度为1的向量称为单位向量。例2证*(二)正交向量组定义显然零向量与任何向量都正交，即*例3解将其单位化，得*定义*定理证与上式两端作内积，得*上述定理说明：一个向量组线性无关是该向量组为正交向量组的必要条件。但定理显然不是可逆的。*施密特正交化方法*例3将向量组正交化。解*解正交化。例3将向量组*练习解将向量组标准正交化。*再单位化,*(三)正交矩阵定义若n阶实矩阵Q满足则称Q为正交矩阵。例1单位矩阵E是正交矩阵。例2所以Q是一个正交矩阵。*例3在平面解析几何中，两个直角坐标系间的坐标变换公式为写成矩阵形式为*正交矩阵的基本性质：(3)若P与Q都是n阶正交矩阵,则PQ也是n阶正交矩阵.逆命题也对；证所以PQ是正交矩阵。*例4证*例5证是对称正交阵.故A为对称阵；即A为正交阵。*定理n阶矩阵Q为