2024-2025学年上海市上海交通大学附属中学高三上学期期中考试数学试卷含答案.docx

交大附中2024学年第一学期高三年级数学期中

2024.11

一,填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）

1.已知集合,且,则实数.

2.已知扇形的半径是3,弧长为6,则扇形圆心角的弧度数是.

3.*已知点是角终边上一点,若,则.

4.*已知,向量与的夹角为.向量在方向上的数量投影为.

5.已知直线,若,则实数的值为.

6.若有两个复数,满足,则.

7.上海是一座魔幻都市,有着丰富的旅游资源。甲,乙两人相约来到上海旅游,两人分别从四个景点中随机选择一个景点游览,甲,乙两人恰好选择同一景点的概率为.

8.*若,则.

9.*已知函数的值域是,则实数的取值范围是.

10.中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹的中国古老民间艺术之一.已知某剪纸的裁剪工艺如下:取一张半径为1的圆形纸片,记为,在内作内接正方形,接着在该正方形内作内切圆,记为,并裁剪去该正方形与内切圆之间的部分（如图所示阴影部分）,记为一次裁剪操作,,不断重复上述裁剪操作,则被裁剪部分的面积之和的极限为.

11.为双曲线右支上两不同点,则取值范围是.

12.和的零点按从小到大顺序可以分别构成两个等差数列,则所构成的集合为.

二,选择题（本题共4小题,前2题每小题4分,后2题每小题5分,共18分）

13.*若,则是（）.

A.锐角三角形;B.直角三角形;C.钝角三角形;D.无法确定.

14.将某学校一次物理测试学生的成绩统计如下图所示,则估计本次物理测试学生成绩的平均分为（同一组数据用该组区间的中点值作代表）（）.

A.68;B.70;

C.72;D.74.

15.*设与是两个不同的幂函数,记,则中的元素个数的可能是（）.

A.0,1,2,;B.1,2,3;C.1,2,3,4;D.0,1,2,;3.

16.已知定圆,点A是圆所在平面内一定点,点是圆上的动点,若线段的中垂线交直线于点,则点的轨迹可能是：(1)椭圆,(2)双曲线,(3)抛物线,(4)圆,(5)直线,(6)一个点.其中所有可能的结果有（）.

A.2个;B.3个;C.4个;D.5个.

三,解答题.（本大题共5小题,满分78分）

17.（本题满分14分,第（1）题满分6分,第（2）题满分8分）

如图所示五面体中,四边形为长方形,平面和是全等的等边三角形.

（1）求证:;

（2）若已知,求该五面体的体积.

18.（本题满分14分,第(1)题满分6分,第(2)题满分8分)

*设（常数）。

（1）为上的严格增函数,求实数的取值范围.

（2）设,若对于任意,都有成立,求实数的取值范围。

19.（本题满分14分,第（1）题满分2分,第（2）题满分4分,第（3）题满分8分）

仰晖楼有A,B两部电梯。已知电梯每上一层需要5秒,电梯在某层楼停留时开门到关门所花时间为10秒（人员均能在电梯开关门时间内完成进出电梯和按楼层等操作）.某天清晨,楼上还没有人,1楼已经有若干人均欲乘坐电梯上楼,目的地分别是楼.现两部电梯均恰好在1楼（两部电梯互相独立运行,可以独立开关门,在1楼按下按钮后将同时打开门）,且每部电梯容量足够容纳所有人.定义为：从A（B）电梯开门时刻算起,到电梯内最后一人到达目标楼层后A（B）电梯门关闭为止,所花时间.记运输完成时间：.

（1）若所有人均乘坐一部电梯,求.

（2）为了研究的最小值,我们需要对电梯的乘坐安排作出一些合理假设.例如：假设两部电梯都有人乘坐。理由：分开乘坐,比如去2层的人都坐电梯A,其余人坐电梯B,则均小于（1）中,故运输完成时间也小于（1）中,所以要使得最小,两部电梯一定都有人乘坐.请你在此基础上再提出1至2条关于电梯乘坐安排的合理假设,并简述作出这些假设的理由（若有多条假设,请按重要性从高到低写出最重要的两条）.

（3）求出最小值.

20.（本题满分18分,第（1）题满分4分,第（2）题满分6分,第（3）题满分8分）如图,已知椭圆经过点,离心率.

（1）求椭圆的标准方程;

（2）椭圆上任意点轴上一点,若的最小值为,求实数的取值范围;

（3）设是经过右焦点的任一弦（不经过点）,直线与直线相交于点,记的斜率分别为,求证:成等差数列.

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