福建省泉州市泉州科技中学2025届高三上学期期中考试数学试卷（解析版）-A4.docx

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泉州科技中学2024-2025学年度

第一学期高三年期中考试数学试卷

一、选择题：本题共8小题．每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知集合，，则（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】先化简集合，再由交集运算可得.

【详解】由，，

则.

故选：B.

2.已知复数．则（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用复数的除法求出，得，模长公式计算.

【详解】复数，则，

所以.

故选：A.

3.已知向量，，若，则（）

A.2 B.3 C.4 D.

【答案】D

【解析】

【分析】由，有，求出的值，得的坐标，可求.

【详解】向量，，

若，则，解得，所以，

可得，.

故选：D.

4.若，则“”是“”的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】解法一：由化简得到即可判断；解法二：证明充分性可由得到，代入化简即可，证明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入即可，证明必要性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入，解方程即可.

【详解】解法一：

因为，且，

所以，即，即，所以.

所以“”是“”的充要条件.

解法二：

充分性：因，且，所以，

所以，

所以充分性成立；

必要性：因为，且，

所以，即，即，所以.

所以必要性成立.

所以“”是“”充要条件.

解法三：

充分性：因为，且，

所以，

所以充分性成立；

必要性：因为，且，

所以，

所以，所以，所以，

所以必要性成立.

所以“”是“”的充要条件.

故选：C

5.已知，则（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】由已知条件，用两角和的正弦公式，二倍角公式，同角三角函数关系化简即可求解.

【详解】因为

所以.

故选：B

6.一个正四面体边长为3，则一个与该正四面体体积相等、高也相等的正三棱柱的侧面积为（）

A B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意求出该正四面体的体积和高，继而可求出正三棱柱的底面积，即可得出正三棱柱的底面边长，继而可求正三棱柱的侧面积.

【详解】如图为中点，为点在底面的投影，

由题意得，，

，

所以该正四面体的体积为.

所以正三棱柱的体积为，高为，

所以正三棱柱的底面积为，

设正三棱柱的底面边长为，则，

可得，

所以正三棱柱的底面边长为，

所以该正三棱柱的侧面积为.

故选：A.

7.朱世杰（1249年-1314年），字汉卿，号松庭，元代数学家、教育家，毕生从事数学教育，有“中世纪世界最伟大的数学家”之誉．他的一部名著《算学启蒙》是中国最早的科普著作．该书中有名的是“堆垛问题”，其中有一道问题如下：今有三角锥垛果子．每面底子四十四个，问共积几何？含义如下：把一样大小的果子堆垛成正三棱锥形（如图所示，给出了5层三角锥垛俯视示意图），底面每边44个果子，顶部仅一个果子，从顶层向下数，每三角锥垛层的果子数分别为1，3，6，10，15，21，……共有44层．问全垛共有多少个果子?则该三角锥垛从顶层向下数前40层的果子总数为（）（参考公式：）

A.12341 B.11480 C.10280 D.8436

【答案】B

【解析】

【分析】根据三角锥垛层的果子数可以观察得数列的通项公式，求和即可.

【详解】因为三角锥垛层的果子数分别为1，3，6，10，15，21，……构成数列，

观察得数列的通项公式为，

设其前项和为，则

，

所以.

故选：B

8.已知函数是奇函数，函数图象与的图象有4个公共点，且，则（）

A.2 B.3 C.4 D.5

【答案】D

【解析】

【分析】由题意得与都关于点对称，则，由此即可求得结果.

【详解】由函数是奇函数，其图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的图象，所以的图象关于点对称，

由，可得的图象是由奇函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，所以的图象关于点对称，

所以与都关于点对称，

所以，

所以.

故选：D.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9.若，，，则的值可以为（）

A. B.6 C. D.3

【答案】AB

【解析】

【分析】由已知条件结合基本不等式可以先求出的取值范围，结合选项即可.

【详解】因为，，，令，则，当且仅当时，等号成立，

则，

当且仅当时等号成立.

故选：AB

10.已知双曲线的左