湖南省岳阳市临湘市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题 含解析.docx

2024年高二数学期中考试试题

一、单选题（共40分）

1向量，若，则（）

A. B.

C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用空间向量平行列出关于的方程组，解之即可求得的值.

【详解】因为，所以，由题意可得，

所以，则．

故选：C.

2.直线的倾斜角是（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】由斜率可确定直线的倾斜角.

【详解】由得，所以该直线的斜率为：.

设直线倾斜角为，则，且，所以.

故选：C

3.在所有棱长均为2的平行六面体中，，则的长为（）

A. B. C. D.6

【答案】C

【解析】

【分析】先将用表示，然后再结合数量积的运算律即可得解.

【详解】因为，所以

，

从而，即的长为．

故选：C.

4.已知向量，，且，那么等于（）

A. B. C. D.5

【答案】C

【解析】

【分析】先根据向量垂直数量积为零求坐标，再根据坐标求模长计算即可.

【详解】因为，，且，

所以，即，所以，

所以，

故选：C．

5.如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（）

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用向量运算的三角形法则、平行四边形法则表示出即可.

【详解】

=

故选：A.

6.已知直线过点，且纵截距为横截距的两倍，则直线的方程为（）

A.

B.

C.或

D.或

【答案】D

【解析】

【分析】分直线过原点与不过原点两种情况求解可得直线的方程.

【详解】根据题意，分2种情况讨论:

①直线过原点，设直线方程为，又由直线经过点，

所以，解得，此时直线的方程为，即；

②直线不过原点，设其方程为，又由直线经过点，

则有，解可得，此时直线的方程为，

故直线的方程为或.

故选：D.

7.在棱长为2的正方体中，下列说法正确的是（）

A.平面与平面的距离为 B.三棱锥外接球的表面积为

C. D.直线BC与平面所成的角为

【答案】A

【解析】

【分析】D选项，作出辅助线，由线面垂直得到⊥，故⊥平面，直线与平面所成的角为，且，故D错误；C选项，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，得到，所以⊥平面，⊥；B选项，三棱锥的外接球就是正方体的外接球，从而求出外接球半径，得到外接球表面积；A选项，先证明出平面平面，利用点到平面距离向量公式得到答案.

【详解】D选项，如图1，连接，与相交于O点，

因为⊥平面，且平面，所以⊥，

又因为⊥，，平面，

所以⊥平面，

即直线与平面所成的角为，

且，故D错误；

C选项，如图2，连接，以D为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，

则，

则，

设平面的法向量为，

则，

令，则，则，

则，所以⊥平面，

又因为平面，则⊥，故C错误；

B选项，三棱锥的外接球就是正方体的外接球，

设其外接球的半径为R，则，即，

所以，故B错误；

A选项，如图3，因为，平面，平面，

所以平面，同理平面，

又，平面，所以平面平面，

由B选项可知，平面的一个法向量为，

且，

则两平面间的距离，故A正确.

故选：A

8.已知两点的坐标分别为，两条直线和的交点为，则的最大值为（）

A. B. C.1 D.2

【答案】D

【解析】

【分析】由直线所过定点和两直线垂直得到点的轨迹，再设，结合辅助角公式求出即可；

【详解】

由题意可得直线恒过定点，恒过定点，

且两直线的斜率之积为，所以两直线相互垂直，

所以点在以线段为直径的圆上运动，

，设，

则，

所以，

所以当时，即时，取得最大值，此时点的坐标为.

故选：D.

二、多选题（共20分）

9.如图，四棱柱中，为的中点，为上靠近点的五等分点，则（）

A B.

C. D.

【答案】BD

【解析】

【分析】运用空间向量的基底表示，结合平面向量的三角形法则和线性运算规则可解.

【详解】，

即，故A错误、B正确；

，

即，故C错误，D正确.

故选：BD.

10.下列结论正确的是（）

A.已知向量，则在上的投影向量为

B.若对空间中任意一点，有则P，A，B，C四点共面

C.已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底

D.若直线的方向向量为平面的法向量，则直线

【答案】ABC

【解析】

【分析】利用投影向量的定义判断A，利用空间四点共面，满足，其中判断B，根据向量基底的概念判断C，利用线面关系的向量表示判断D.

【详解】因为，

所以在上的投影向量为，故A对；

因，且，则P，A，B，C四点共面，

因为，所以P，A，B，C四点共面，故B对；

是空间的一组基底，若，所以两向量之间不共线，

所以也是空间的一组基底，故C对；

因为直线的方向向量为平面的法向量，

且，则直线或