高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.1 利用导数判断函数的单调性课件9 新人教B版选修2-2-新.pptVIP

利用导数判断函数的单调性

1.基本初等函数的导数公式

（1）常函数：(C)/0,(c为常数)；

（2）幂函数：(xn)/nxn1

（3）.三角函数：

（1）(sinx)cosx（2）(cosx)sinx

（4）对数函数的导数:

11

(1)(lnx).(2)(logx).

xaxlna

（5）指数函数的导数:

(1)(ex)ex.

(2)(ax)axlna(a0,a1).

2.导数的运算法则

（1）函数的和或差的导数(u±v)/＝u/±v/.

（2）函数的积的导数(uv)/＝u/v+v/u

（3）函数的商的导数

/uvvu

（u）=(v≠0)。

2

vv

复习:

函数y=f(x)在给定区间G上，当x1、x2∈G

且x1＜x2时

1）都有f(x1)＜f(x2)，则f(x)在G上是增函数；

2）都有f(x1)＞f(x2)，则f(x)在G上是减函数；

若f(x)在G上是增函数或减函数，

则f(x)在G上具有严格的单调性。G称为单调区间

例:已知函数y=2x3-6x2+7,求证：这个函

数在区间(0,2)上是单调递增的.

用定义法判断函数单调性的步骤：

（1）任取x1x2

(2)作差f（x1）-f（x2）并变形

（3）判断符号

（4）下结论

观察下面一些函数的图象,探讨函

数的单调性与其导函数正负的关系.

yy

yxyx2

Ox

Ox

12

31

yyxyy

x

OxOx

34

一般地,设函数y=f(x)在某个区间（a，b）内有导数,

（1）若f(x)0,则函数y=f(x)在这个区间内为增函数;

（2）若f(x)0,则函数y=f(x)在这个区间内为减函数.

yy

f(x)0

f(x)0

oa

oabxbx

如果在某个区间内恒有f(x)0,则f(x)为常数.

例1.确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间

内是增函数，哪个区间内是减函数.

解：f′(x)=(2x3－6x2+7)′=6x2－12x

解f′(x)=6x2－12x＞0，

得x＞2或x＜0

∴f(x)的增函数区间为(－∞,0),(2,+∞).

解f′(x)=6x2－12x＜0，解得0＜x＜2.

∴f(x)的减函数区间为(0，2).

例1.确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间

内是增函数，哪个区间内是减函数.

导数的应用：判断单调性、求单调区间

用导数法确定函数的单调性时的步骤是：

（1）求出函数的导函数（注意定义域）

（2）求解不等式f(x)0,f(x)0,

（3）指出函数的单调区间上的单调性

注：单调区间不以“并集”出现。

练习1:求下列函数的单调区间.

(1)f(x)x33x1

函数的增函数区间为(,0)和（1