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专题28三角形面积型最值逆向与三角形面积运算型最值问题

最值问题——构造函数

最值问题的基本解法有几何法和代数法：几何法是根据已知的几何量之间的相互关系、平面几何和解析几何知识加以解决的(如抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等)；代数法是建立求解目标关于某个或两个变量的函数，通过求解函数的最值普通方法、基本不等式方法、导数方法等解决的．

【例题选讲】

[例1]定圆M：(x＋eq\r(3))2＋y2＝16，动圆N过点F(eq\r(3)，0)且与圆M相切，记圆心N的轨迹为E．

(1)求轨迹E的方程；

(2)设点A，B，C在E上运动，A与B关于原点对称，且|AC|＝|BC|，当△ABC的面积最小时，求直线AB的方程．

[规范解答](1)∵F(eq\r(3)，0)在圆M：(x＋eq\r(3))2＋y2＝16内，∴圆N内切于圆M．

∵|NM|＋|NF|＝4|FM|，∴点N的轨迹E为椭圆，且2a＝4，c＝eq\r(3)，∴b＝1，

∴轨迹E的方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1．

(2)①当AB为长轴(或短轴)时，S△ABC＝eq\f(1,2)|OC|·|AB|＝2．

②当直线AB的斜率存在且不为0时，设直线AB的方程为y＝kx，A(xA，yA)，

由题意，C在线段AB的中垂线上，则OC的方程为y＝－eq\f(1,k)x．

联立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)＋y2＝1，,y＝kx))得，xeq\o\al(2,A)＝eq\f(4,1＋4k2)，yeq\o\al(2,A)＝eq\f(4k2,1＋4k2)，∴|OA|2＝xeq\o\al(2,A)＋yeq\o\al(2,A)＝eq\f(4(1＋k2),1＋4k2)．

将上式中的k替换为－eq\f(1,k)，可得|OC|2＝eq\f(4(1＋k2),k2＋4)．

∴S△ABC＝2S△AOC＝|OA|·|OC|＝eq\r(\f(4(1＋k2),1＋4k2))·eq\r(\f(4(1＋k2),k2＋4))＝eq\f(4(1＋k2),\r((1＋4k2)(k2＋4)))．

∵eq\r((1＋4k2)(k2＋4))≤eq\f((1＋4k2)＋(k2＋4),2)＝eq\f(5(1＋k2),2)，

∴S△ABC≥eq\f(8,5)，当且仅当1＋4k2＝k2＋4，即k＝±1时等号成立，此时△ABC面积的最小值是eq\f(8,5)．∵2eq\f(8,5)，

∴△ABC面积的最小值是eq\f(8,5)，此时直线AB的方程为y＝x或y＝－x．

[例2]已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，P在椭圆上(异于椭圆C的左、右顶点)，过右焦点F2作∠F1PF2的外角平分线L的垂线F2Q，交L于点Q，且|OQ|＝2(O为坐标原点)，椭圆的四个顶点围成的平行四边形的面积为4eq\r(3)．

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线l：x＝my＋4(m∈R)与椭圆C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为A′，直线A′B交x轴于点D，求当△ADB的面积最大时，直线l的方程．

[规范解答](1)由椭圆的四个顶点围成的平行四边形的面积为4×eq\f(1,2)ab＝4eq\r(3)，得ab＝2eq\r(3)．

延长F2Q交直线F1P于点R，因为F2Q为∠F1PF2的外角平分线的垂线，

所以|PF2|＝|PR|，Q为F2R的中点，所以|OQ|＝eq\f(|F1R|,2)＝eq\f(|F1P|＋|PR|,2)＝eq\f(|F1P|＋|PF2|,2)＝a，

所以a＝2，b＝eq\r(3)，所以椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1．

(2)联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝my＋4，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))消去x，得(3m2＋4)y2＋24my＋36＝0，

所以Δ＝(24m)2－4×36×(3m2＋4)＝144(m2－4)0，即m24．

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A′(x1，－y1)，由根与系数的关系，得y1＋y2＝eq\f(－24m,3m2＋4)，y1y2＝eq\f(36,3m2＋4)，

直线A′B的斜率k＝eq\f(y2－?－y1?,x2－x1)＝eq\f(y2＋y1,x2－x1)，所以直线A′B的方程为y＋y1＝eq\f(y1＋y2,x2－x1)(x－x1)，

令y＝0，得xD＝eq\f(x1y2＋x2y1,y1＋y2)＝eq\f(?my1＋4?y2＋y1?my2＋4?,y1＋y2)＝eq\f(2my1y2,y1＋