专题15圆锥曲线焦点三角形微点3圆锥曲线焦点三角形内切圆问题.pdf

专题圆锥曲线焦点三角形

微点圆锥曲线焦点三角形内切圆问题

3

【微点综述】

在圆锥曲线的考查中，焦点三角形是考查椭圆与双曲线第一定义的良好载体．焦点三角形结

合圆，这样的试题难度一定不会小，往往还涉及中位线、角平分线、中垂线、相似等平面几

何的知识．本文归纳椭圆、双曲线焦点三角形内切圆的相关性质，并作进一步的引申和推广．

一、椭圆焦点三角形内切圆的重要性质

椭圆的焦点三角形指的是椭圆上一点与椭圆的两个焦点所连接成的三角形．椭圆的焦点三角

形问题，可以将椭圆定义和性质、三角形的几何性质以及解三角形等进行有机结合．圆是平

面几何中非常重要的研究对象，焦点三角形的内切圆问题对于问题转化能力、几何性质的应

用能力、数形结合能力提出了更高维度的要求，是解析几何综合问题重点考察内容之一．

下面先看椭圆焦点三角形内切圆的三个性质：

22

CxyF,FCP

如图1，椭圆的标准方程为1ab0，为椭圆的左、右焦点，为椭

2212

ab

圆上不与左、右顶点重合的任意一点，PFF的内切圆圆心为，且圆与IIPFF三边相切

1212

D,E,HPx,y,Ix,y

于点．设00II，则有如下性质：

【性质1】PDPEac．

ey0c

【性质2】xex,y，其中e为椭圆的离心率．

I0I

1ea

图1

证明：由切线长定理得：PDPE,FDFH,FEFH，则

1122

PFPFFFPDDFPEEFFHFHPDPE2PD2PE

12121212，

试卷第1页，共8页

PFPFFF2a2cPDPEac

又根据椭圆定义得1212，因此，性质1得证．

下面证明性质．

2

PFFrIHxP

设12的内切圆半径为，由内切圆性质得轴，当点在第一象限时，则

xOH,yrII．根据切线长定理，

PFPFDFEFFHFHcxcx2x

121212III①，

根据椭圆的第二定义得到焦半径公式：PFaex,PFaex，

1020

PFPFaexaex2ex

120