高等数学（第二版）下册课件：二阶常系数线性微分方程.pptx

二阶常系数线性微分方程.9.6.1二阶常系数齐次线性微分方程解的结构9.6.2求解常系数齐次线性微分方程的通解9.6.3二阶常系数非齐次线性方程解的结构9.6.4求几种特殊形式的非齐次方程的解

9.6.1二阶常系数齐次线性微分方程解的结构二阶常系数齐次线性微分方程的形式是我们首先讨论二阶线性微分方程通解的结构。定理9.1（解的跌加原理）如果函数都是二阶常系数线性齐次方程（9.22）的解，则其线性组合（9.22）也是方程(9.22)的解，其中是任意常数

证明:将代入二阶常系数齐次线性微分方程的左边，得所以是方程(9.22)的解.

是二阶常系数齐次线性微分方程(9.22)的解又含有两个任意常数，那么它是否就是方程的通解呢？我们看一个简单例子.【例9.6.1】验证是方程的解，但不是方程的通解

证明：将代入，知它们都是方程但因此不能作为方程的通解.这个例子表明，一般不能将方程任意两个解的组合作为通解.的解，故也是方程的解.

定义9.4（函数的线性相关性）如果存在不全为零的常数使得则称与线性相关当且仅当时，才成立，则称与线性无关．

定理9.2如果函数与是二阶常系数线性齐次方程例如与是方程的两个线性无关的特解，此时就是方程的通解.(9.22)的两个线性无关的特解，则为该方程的通解．

9.6.2求二阶常系数齐次线性微分方程的通解由定理9.2可知，求二阶常系数线性齐次方程(9.22)的通解，可归为求方程的两个线性无关的特解.求方程(9.22)的特解，就是找出一个函数y,使得各乘一个常数因子后的代数和等于零，即特解之间只差一个常数倍.所有的初等函数中只有指数函数具有这样的性质，则适当选取指数函数中指数，看能否满足齐次方程(9.22)．

将代入方程(9.22)，得因为，所以有（9.23）一元二次方程(9.23)称为齐次方程(9.22)的特征方程．特征方程的解称为特征根．

由于特征方程的特征根有三种不同情形，因此需要分三种情形讨论方程的通解．I)特征根是两个不相等的实根的情形当特征方程的判别式时，有两个不相等的实根：这时齐次方程(9.22)有两个线性无关的特解：

因此齐次方程(9.22)的通解为【例9.6.2】求方程的通解.分析：先求出特征根，若不同，则可写出通解解：特征方程为

特征根为，.故所求微分方程的通解为II)特征根是重根的情形当特征方程(9.23)的判别式时时，(可得）这时，齐次方程(9.22)只有一个特解：.为了得到另一个与线性无关的特解，可设

(是待定的函数).将代入原方程且因r是特征方程的重根，有

可得到选取最简单的一个函数故也是齐次方程(9.22)的解,因为不是常数.所以齐次方程(9.22)的通解为【例9.6.3】求方程的通解．分析：方程有两个相同的根，通解为

解：方程对应的特征方程为特征根为