高等数学（第二版）下册课件：一阶线性微分方程.pptx

一阶线性微分方程.9.4.1一阶线性微分方程的定义9.4.2一阶线性微分方程的解法

9.4.1一阶线性微分方程的定义形如(9.15)的方程称为一阶线性微分方程.如果形如，称方程(9.15)为一阶非齐次线性方程；，方程(9.16)称方程(9.16)为一阶齐次线性方程.本节主要讨论一阶微分方程的解法，重点是利用常数变易法求解一阶非齐次线性方程．

9.4.2一阶线性微分方程的解法解题思路：利用常数变易法，把一阶线性微分方程对应的齐次方程的通解中的任意常数变易成函数．具体步骤如下．的通解．先分离变量1.利用分离变量法，解一阶线性方程所对应的齐次方程(9.16)两端积分得同解为(9.17)

求导得(9.19)知函数C(x)，即做变换2.利用常数变易法，把通解（9.17）中的任意常数C变易成未(9.18)把式(9.18)、(9.19)代入原方程(9.15)得整理得

分离变量，两端积分得为3.将C(x)代入式(9.18)中，得非齐次线性微分方程(9.15)的通解或者(9.20)非齐次线性微分方程的通解可以写成两部分之和，其中第一部分是对应的齐次线性微分方程的通解，第二部分是非齐次线性微分方程的一个特解。因此，在解一阶微分方程过程中，通常有两种方法：公式法和常数变易法。

例9.4.1求微分方程的通解．解（解法一）方程为一阶线性微分方程，先解对应的齐次方程分离变量两端积分得通解为用常数变易法，把任意常数c变易为函数C(x)，即是原方程的通解．求导得代入原方程得积分得则原方程的通解为

解（解法二）直接应用公式(9.20)，但是必须先把方程化成式(9.15)的形式．这里，则通解为

例9.4.2求方程的通解．解原方程变形为此方程为一阶线性微分方程，先解对应的齐次方程分离变量

两边积分得即用常数变易法，把任意常数c变易为函数C(x)，即y=C(x)x是原方程的通解．代入原方程得所以

此原方程通解为例9.4.3求微分方程的通解．解对应齐次方程为

用常数变易法，把C换为C(x)，即令那么代入所给非齐次方程，得积分得代入可得方程的通解为

一阶线性方程初值问题的解题思路一般是先求方程的通解，然后根据初始条件确定常数，从而得到特解.解对应齐次方程为例9.4.4求方程满足初始条件的特解．变形为即

两端积分得把任意常数c变易为函数C(x)，即是原方程的通解．代入原方程得所以因此原方程的通解为因为

代入解得所以原方程满足初始条件的特解为需要注意的是，很多时候，我们在求解微分方程时，往往需要交换x与y的函数关系，即将y作为自变量，使方程变为关于y的一阶线性方程求解.

解（解法一）方程变形为这是以x为未知函数，y为自变量的微分方程，应用一阶线性微分方程的解法，方程的通解为例9.4.5求微分方程的通解．

解（解法二）设变量u=x+y.则有代入方程整理得分离变量得

两端积分得代回原变量得或者即为原方程的通解．

小结本节主要介绍了一阶线性方程的定义及求解方法，通过常数变易法可以求解出大部分非齐次方程的通解，从中可以看出齐次线性方程与非齐次线性方程的区别与紧密联系.那么对于高阶的微分方程来说，常数变易法还能够适用吗？高阶微分方程该如何求其通解呢？