课时规范练56　利用空间向量证明平行、垂直与利用空间向量求距离--2025湘教版高中数学一轮复习课件（新高考新教材）.pdfVIP

2025高考总复习

课时规范练56利用空间向量证明平行、

垂直与利用空间向量求距离

1.如图,在长方体ABCD-ABCD中,ADAA1,AB2.

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(1)求证:当点E在棱AB上移动时,始终有DE⊥AD;

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(2)点E在棱AB上移动,当平面DEC⊥平面BEC时,求AE的长.

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(1)证明以D为坐标原点,DA,DC,DD所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间

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直角坐标系,如图所示,则D(0,0,0),C(0,2,0),A(1,0,1),B(1,2,1),D(0,0,1).

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取y1,则n(2-y,1,y-2),

200

因为平面DEC⊥平面BEC,可得m⊥n,

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2

即m·n(2-y,1,2)·(2-y,1,y-2)0.所以(2-y)+1+2(y-2)0,解得y1,故当平

000000

面DEC⊥平面BEC时,AE的长为1.

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2.如图,在四棱锥P-ABCD中,AC∩BDO,底面ABCD为菱形,边长为2,

PC⊥BD,PAPC,且∠ABC60°,异面直线PB与CD所成的角为60°.

(1)求证:PO⊥平面ABCD;

(2)若E是线段OC的中点,求点E到直线PB的距离.

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(1)证明因为四边形ABCD为菱形,所以AC⊥BD.因为PC⊥BD,

PC∩ACC,PC,AC⊂平面APC,所以BD⊥平面APC.因为PO⊂平面APC,所以

BD⊥PO.因为PAPC,O为AC的中点,所以PO⊥AC,又因为

AC∩BDO,AC,BD⊂平面ABCD,所以PO⊥平面ABCD.

(2)解以O为坐标原点,直线OB,OC,OP分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的

空间直角坐标系.

因为AB∥CD,所以∠PBA或其补角为异面直线PB,

CD所成的角,显然∠PBA是锐角,

所以∠PBA60°.

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3.(2024·河南濮阳模拟)在如图所示的六面体ABC-ADBC中,平面ABC∥

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平面ADBC,AA∥CC,BC2BC,AB2AD.

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