课时规范练50　球与几何体的切、接问题--2025湘教版高中数学一轮复习课件（新高考新教材）.pdfVIP

2025高考总复习

课时规范练50球与几何体的切、接问题

基础巩固练

1.(2020·天津,5)若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的

表面积为()

C

A.12πB.24πC.36πD.144π

解析这个球是正方体的外接球,其半径等于正方体的体对角线的一半,即

R3,所以这个球的表面积为

S4πR24π×3236π.

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2.已知某封闭的直三棱柱各棱长均为2,若三棱柱内有一个球,则该球表面

积的最大值为()

A

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C

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解析如图所示,不妨设该四棱锥外接球的球心O在线段SE上,球心O在线段

SE的延长线的情况可同理讨论.设球的半径为R.三棱锥的底面中心为E,连

接SE,BO,BE.因为在正四棱锥S-ABCD中,底面是边长为2的正方形,侧面

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A

A.77πB.64πC.108πD.72π

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5.《九章算术》卷五《商功》中有如下问题:“今有委粟平地,下周一十二

丈,高四丈.”意思是:今将粟放在平地,谷堆下周长12丈,高4丈.将该谷堆模型

B

看作一个圆锥,π取近似值3,则该圆锥外接球的表面积约为()

A.55平方丈B.75平方丈

C.110平方丈D.150平方丈

解析设外接球球心为O,底面圆心为O,设底面圆的半径为r,因为谷堆下周

长12丈,所以2πr12,所以r≈2.

设外接球半径为R,则OO4-R.

222

由勾股定理得(4-R)+2R,解得R,所以该圆锥外接球的表面积约为

4πR225π≈75平方丈,故选B.

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6.已知△ABC的顶点都在球O的球面上,且A60°,BC,球心O到平面

ABC的距离为2,则球O的表面积为()

C

A.12πB.16πC.20πD.25π

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ABD

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解析如图,取棱AB的中点D,连接CD,PD.则在正三棱锥P-ABC中,

AB⊥CD,AB⊥PD.因为PD,CD⊂平面PCD,且PD∩CD