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基于主成分分析法的上市公司综合评价

王文正，丁红红

东南大学经济管理学院，南京(211198)

摘要：主成份分析法是一种有效的多指标决策和综合评价的多元统计方法。本文首先介绍了主成份分析法的原理和计算步骤；然后通过选取恰当的指标和研究样本，利用统计软件SPSS对上市公司多个指标进行降维分析，并得出综合性评价。

关键词：主成分分析法；上市公司；综合评价

1.引言

目前国内外关于多指标综合评价的方法很多，根据权重确定方法的不同，大致可分为两类：一类是主观赋权法，如层次分析法、德尔菲法，等等，多是采用综合咨询评分的定性方法。这类方法因受到人为因素的影响，往往会夸大或降低某些指标的作用，致使排序的结果不能完全真实地反映事物间的现实关系。另一类是客观赋权法，即根据各指标间的相关关系或各项指标值的变异程度来确定权数，避免由于人为因素带来的偏差，如主成分分析法、因子分析法等等[1]。本文介绍的主成分分析法在将原始变量转变为主成分的过程中，同时形成了反映主成分和指标包含信息量的权数，以计算综合评价值。这样在指标权重选择上克服了主观因素的影响，客观地反映了样本间的现实关系。

2.主成分分析法的基本思想和分析步骤

主成分分析法是将多指标转化为几个综合指标的多元统计分析方法。[2]主成分分析就是设法将原来众多的具有一定相关性的指标（比如P个指标），重新组合成一组新的相互无关的综合指标来代替原来的指标。通常数学上的处理就是将原来P个指标作线性组合，若没有限制条件作为新的综合指标，这样的线性组合会有很多，那么如何去选取呢？主成分分析的基本思想是：如果将选取的第一个线性组合即第一个综合指标记为F1，自然希望尽可能多的反映原来指标的信息。这里的“信息”最经典的方法就是用F1的方差来表达，即Var（F1）越大，表示F1包含的信息越多。因此在所有的线性组合中所选取的F1应该是方差最大的，故称F1为第一主成分。如果第一主成分不足以代表原来P个指标的信息，再考虑选取F2即选第二个线性组合，为了有效地反映原来信息，F1已有的信息就不再需要出现在F2中，用数学语言表示就是要求Cov（F1，F2）=0，称F2为第二主成分，依次类推可以造出第三，第四…第P个主成分。不难想象这些主成分之间不仅不相关，而且它们的方差依次递减，因此在实际工作中，就挑选前几个最大主成分。虽然这样做会损失一部分信息，但是由于抓住了主要矛盾，并从原始数据中进一步提取了某些新的信息，这种既减少了变量的数目又抓住了主要矛盾的做法有利于问题的分析和处理。主成分分析法强调差异性原理,指标权重系数具有客观性;它对原指标变量进行变换后形成了彼此相互独立的主成分,消除了评价指标之间的相关影响,因此这种方法不要求选择完全独立的指标,从而降低了指标选择的难度。主成分分析法的算法步骤比较复杂,简述如下：

设有n个样本,p项指标,可得数据矩阵X=（xij）n×p,式中,xij表示第i个样本的第j项指标值,i=1,2,…,n,j=1,2,…,p。

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(1)对数据用Z-score法进行标准化变换Zij=/,式中,x，2,i=1,2,…,n,j=1,2,…,p,由此得到标准化的数据向量Zj=

T(Z1j,Z2j,…，Znj)，,j=1,2,…,p。

T

(2)求指标数据的相关矩阵R=（rik）p×p,式中,rjk为指标j与指标k的相关系数

,i=1,2,……,n,j=k=1,2,……，p

(3)求相关矩阵的特征根和特征向量

由特征方程式可求得p个特征根,

并将特征根按大小顺序排列为λ1≥λ2≥…≥λp≥0,相应的特征向量

于是可将标准化后的指标变量转换为主成分：Fj=ZFj=lj1Z1+lj2Z2+……+ljpZp,j=1,2,…,p,则F1称为第一主成分,F2称为第二主成分,…,Fp称为第p主成分。相关矩阵R的特征根λj即是主成分分析中第j个主成分的方差,λj对应的特征向量Lj即是第j个主成分Fj中各指标变量的系数。

(4)确定主成分的个数

主成分个数的确定原则是,在使信息量尽可能少损失的前提下,选取尽量少的k个主成分

(kp)来进行综合评价。k值由累积方差贡献率≥8