课时规范练26　破解“双变量问题”的基本策略--2025湘教版高中数学一轮复习课件（新高考新教材）.pdfVIP

2025高考总复习

课时规范练26破解“双变量问题”的基本策略

1.(2024·四川宜宾高三模拟)已知函数f(x)ax+1-xlnx的图象在x1处的切

线与直线x-y0平行.

(1)求函数f(x)的单调区间;

(2)若∀x,x∈(0,+∞),且xx时,f(x)-f(x)m(),求实数m的取值范围.

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解(1)f(x)a-1-lnx,所以f(x)的图象在(1,f(1))处的切线斜率为a-1,由切线与

直线x-y0平行,可得a-11,即a2,因此f(x)2x+1-xlnx,f(x)1-lnx.

由f(x)0,可得0xe,由f(x)0,可得xe,则f(x)在(0,e)内单调递增,在(e,+∞)

上单调递减.

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2.(2024·山东日照高三期末)已知函数f(x)lnx+-2a(a∈R).

(1)讨论函数f(x)的单调性;

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(2)若f(x)有两个极值点x,x,且x∈[e,e],求f(x)-f(x)的取值范围.

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2

令f(x)0,得x+(2-a)x+10.

当a≤2,x0时,f(x)0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增;

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当a2时,方程x+(2-a)x+10的Δa-4aa(a-4),

①当2a≤4时,Δ≤0,则f(x)≥0,且不恒为0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增;

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(ⅱ)若a-11,即1a2,则当x∈(a-1,1)时,f(x)0;

当x∈(0,a-1)或x∈(1,+∞)时,f(x)0,故f(x)在(a-1,1)内单调递减,在(0,a-1)和

(1,+∞)上单调递增.

(ⅲ)若a-11,即a2,同理可得f(x)在(1,a-1)内单调递减,在(0,1)和(a-1,+∞)上

单调递增.

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4.(2024·江西临川高三模拟)设m为实数,函数f(x)lnx+2mx.

(1)当m-1时,求函数f(x)的单调区间;

(2)若方程f(x)(2m+1)x+n-2(n∈R)有两个实数根x,x(xx),证

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明:2x+xe.(注:e2.71828…是自然对数的底数)