高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充和复数的概念 3.1.2 复数的几何意义.pptVIP

§3.1.2复数的几何意义;[课标要求]

1．了解复数的几何意义．(难点)

2．理解复数的模的概念，会求复数的模．(重点、易错点);复数的几何意义

1．复平面

建立了直角坐标系来表示________的平面叫做复平面，______叫做实轴，_______叫做虚轴．显然，实轴上的点都表示_______；除了_______外，虚轴上的点都表示_____________．;所有的点;|z|;知识点一复数与复平面内的点

【问题1】我们知道，实数与数轴上的点之间是一一对应关系，那么，复数和复平面内的点之间有什么关系呢？

答案任何一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)，都和一个有序实数对(a，b)一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集可以建立一一对应．;【问题2】判断正误，并说明理由

(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上

(2)在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上

(3)在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数

(4)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数

(5)在复平面内，对应于非纯虚数的点都分布在四个象限;答案(1)√(2)√(3)√(4)×(5)×

理由如下：

根据实轴的定义，x轴叫实轴，实轴上的点都表示实数，反过来，实数对应的点都在实轴上，如实轴上的点(2，0)表示实数2，因此(1)(3)是真命题；根据虚轴的定义，y轴叫虚轴，显然所有纯虚数对应的点都在虚轴上，如纯虚数5i对应点(0，5)，但虚轴上的点却不都是纯虚数，这是因为原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0表示的是实数，故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，所以(2)是真命题；(4)是假命题；对于非纯虚数z＝a＋bi(a，b∈R)，由于a≠0，所以它对应的点Z(a，b)不会落在虚轴上，但当b＝0时，z所对应的点在实轴上，故(5)是假命题．;知识点二复数与平面向量

【问题1】复数与平面向量有怎样的对应关系？

答案当向量的起点在原点时，该向量可由终点唯一确定，从而可与该终点对应的复数建立一一对应关系．;【问题2】什么是复数的模？它有什么意义？;题型一复数与复平面内的点的对应关系

【例1】在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i对应的点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y＝x上，分别求实数m的取值范围．;●规律方法

在复平面内有关复数所对应点问题的解题步骤

(1)把复数化为z＝a＋bi(a，b∈R)的形式；

(2)确定复数对应的点(a，b)；

(3)由题意列出a、b满足的关系式组成方程(组)或不等式(组)；

(4)解方程(组)或不等式(组)求参数取值(范围)．;1．实数x分别取什么值时，复数z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i对应的点Z在下列位置？

(1)第三象限；(2)第四象限；(3)直线x－y－3＝0上．;【答案】(1)C(2)－6－8i;●规律方法

复数的几何意义包含两种情况

(1)复数与复平面内点的对应：复数的实、虚部是该点的横、纵坐标，利用这一点，可把复数问题转化为平面内点的坐标问题．

(2)复数与复平面内向量的对应：复数的实、虚部是对应向量的坐标，利用这一点，可把复数问题转化为向量问题．;2．在复平面上，复数i，1，4＋2i的对应的点分别是A，B，C.求平行四边形ABCD的D点所对应的复数．;●规律方法

复数的模的意义

(1)复数z＝x＋yi(x，y∈R)对应的图形问题，可以依据复数的几何意义来确定，也可以进一步转化为f(x，y)＝0，依据解析几何的有关知识来确定．;3．设复数z满足下列条件，求z对应的点的集合构成的图形．(1)|z|＝2；(2)1≤|z|＜3.

解析(1)∵|z|＝2，∴点Z到原点的距离为2，故满足|z|＝2的复数对应的点的集合是以原点为圆心，以2为半径的圆(x2＋y2＝4)．

(2)满足1≤|z|＜3的复数对应的点的集合是以原点为圆心，分别以1，3为半径的两个同心圆围成的圆环(包括内边界，不包括外边界)，如图．;【典例】复数z＝icosθ，θ∈[0，2π)的几何表示是

A．虚轴

B．线段PQ，点P，Q的坐标分别为(0，1)，(0，－1)

C．虚轴除去原点

D．B选项中线段PQ，但应除去原点;【答案】B;[易错防范]

1．本例常见误区为易忽视虚部cosθ的取值范围．

2．注意题设条件的提取

数学是严谨的，每个条件都有其独特的作用．如本例中“θ∈[0，2π)”，其决定了线段PQ的长度．

3．注意复数的几何意义及有关概念

复数的形式为z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0时，复数z对应的点在虚轴上，如本例中复数z＝icosθ，即为a＝0时的特殊情形．;在复平面内，复数z＝sin2＋icos2对应的点位于

A．第一象限